MPZI_predavanje_04

Grafika (2)

Prikaz ploha

Eksplicitni ili razvijeni prikaz funkcija:    $\boldsymbol{z = f(x, y)}$

Sfera polumjera $r$, sa središtem u ishodištu:

         iz  $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$  slijedi

Hiperbolički paraboloid:  $z = x\,y$

Katedrala Uznesenja Blažene Djevice Marije u San Franciscu (Pier Luigi Nervi, 1971.)

Funkcijama  rotateX (alfa),  rotateY (alfa)  i  rotateZ (alfa)  prikaz rotiramo oko koordinatnih osi $x$, $y$ i $z$ za kut $\alpha$, izražen u radijanima, u smislu vrtnje kazaljke na satu:

Operacija rotiranja nije komutativna:

Funkcijom  rotate ((ex, ey, ez), alfa)  prikaz rotiramo oko osi zadane vektorom  $\vec{e} = (e_x, e_y, e_z)$ za kut $\alpha$, izražen u radijanima, u smislu vrtnje kazaljke na satu: 

Hiperbolički paraboloid (drugi oblik jednadžbe):   $z = x^2 - y^2$

... varijacija:   $z = a(x^2 - y^2)$

Scherkova minimalna ploha:  $z = \ln\dfrac{\cos y}{\cos x}$

Cynthia Woods Mitchell Center for Performing Arts u Woodlandsu  (Horst Berger, 2009.)

(prednapeta konstrukcija od platna: približno minimalne plohe, iako ne Scherkove)

• (Opcijom viewer funkcije show() i raznih funkcija ...plot3d() može se promijeniti program koji SageMath poziva za prikaz prostornih krivulja i ploha. Podrazumijeva se program jmol, koji omogućava interaktivnu rotaciju prikaza. Program tachyon daje „realističniji” prikaz, ali ne dopušta interaktivnu rotaciju.)

Razlika između hiperboličkoga paraboloida i Scherkove minimalne plohe:

Implicitni ili nerazvijeni prikaz funkcija:   $\boldsymbol{f(x, y, z) = 0}$

Kao što smo na prošlom predavanju obećali, nacrtat ćemo prodor sfere i valjka u Vivianijevoj krivulji:

• sfera polumjera 2, sa središtem u ishodištu:   $x^2 + y^2 +  z^2 = 2^2$

• uspravni valjak osi usporedne s osi $z$; presjek ravninom $xy$ je kružnica polumjera 1, sa središtem u točki (1, 0, 0); nacrtan je dio između ravnina $z=-2,\!5$ i $z=2,\!5$:   $(x-1)^2 + y^2 = 1^2$

• Vivianijevu smo krivulju (zadanu u parametarskom obliku) nacrtali na prošlom predavanju:

• i, na kraju, prodor:

• s neprozirnim plohama:

Polusfera:

... i manje:

Rotacijski hiperboloid:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{z^2}{c^2} \,=\, 1$

Rashladni tornjevi nuklearne elektrane u Schmehausenu (prednji: Jörg Schleich; 1974., srušeno 1991.)

Parametarski prikaz funkcija:    $\boldsymbol{x = f_1(u, v)}$,   $\boldsymbol{y = f_2(u, v)}$,   $\boldsymbol{z = f_3(u, v)}$

Prodor sfere i valjka u Vivianijevoj krivulji, još jednom:

• sfera:  

          $x = 2\,\cos u\:\sin v$, 

          $y = 2\,\sin u\:\sin v$, 

          $z = 2\,\cos v$ 

       za  $u\in [0, 2\pi]$  i  $v \in [0, \pi]$

• valjak:  

          $x = \cos u +  1$, 

          $y = \sin u$, 

          $z = v$ 

       za  $u\in [0, 2\pi]$  i  $v\in [-2,\!5;\, 2,\!5]$

• prodor:

• s neprozirnim plohama:

Polusfere:

Traktrikoida (pseudosfera—ploha konstantne negativne Gaussove zakrivljenosti (za razliku od sfere koja ima konstantnu pozitivnu Gaussovu zakrivljenost)):

       $x = \mathrm{sech}\, u\: \cos v = \dfrac{\cos v}{\cosh u},$

       $y = \mathrm{sech}\, u\: \sin v = \dfrac{\sin v}{\cosh u},$

       $z = u - \mathrm{th}\,u$

    za  $u\in (-\infty, \infty)$  i  $v\in [0, 2\pi]$

... druga parametrizacija:

       $x = \cos u\: \sin v,$

       $y = \sin u\: \sin v,$

       $z = \cos v + \ln\Big(\mathrm{tg}\,\dfrac{v}{2} \Big)$

    za  $u\in [0, 2\pi]$  i  $v\in [0, \pi)$

Dinijeva ploha (još jedna pseudosfera—usporedite njezin parametarski prikaz s drugom parametrizacijom traktrikoide):

       $x = a\: \cos u\: \sin v,$

       $y = a\: \sin u\: \sin v,$

       $z = a\: \Big[ \cos v + \ln\Big(\mathrm{tg}\,\dfrac{v}{2} \Big) \Big] + b\,u$

za  $u\in [0, k\, \pi]$  i  $v\in [0, \pi)$

Möbiusova vrpca („izrezana” iz plohe):

       $x = \left(1 + \dfrac{v}{2}\,\cos\dfrac{u}{2}\right) \cos u,$

       $y = \left(1 + \dfrac{v}{2}\,\cos\dfrac{u}{2}\right) \sin u,$

       $z = \dfrac{v}{2}\,\sin\dfrac{u}{2}$

    za  $u\in [0, 2\pi]$  i, recimo,  $v\in[-1, 1]$  (ili  $v\in[-2, 2]$  ili  $v\in[-12, 12]$  ili ...)

    (Maurits Cornelis Escher: Möbiusova vrpca II, drvorez, 1963.)

    (animacija inspirirana Escherovom grafikom: Gert van der Heijden)

Puževa kućica:

       $x = k_1^u\,(1+\cos v)\,\cos u,$

       $y = k_1^u\,(1+\cos v)\,\sin u,$

       $z = k_1^u\,\sin v - a\,k_2^u$

    za  $u \in [-\pi, \pi]$  i  $v\in [-2, 2]$

Prikaz ploha pomoću nivo–krivulja

Hiperbolički paraboloid:   $z = x^2 - y^2$

I na kraju ...