1. kolokvij iz predmeta Matematički programi za inženjere
(rješenja)
Upišite ime i prezime:
|
|
Upišite JMBAG:
|
|
Upute:
Pri izradi kolokvija možete se služiti svojim bilješkama, radnim listovima predavanja i vježbi te on-line priručnicima Sage-a.
Brojevi u zagradama su bodovi koje donosi točno rješenje zadatka ili njegova dijela.
1. zadatak
Sustav linearnih jednadžbi
$x - 2y = -1$,
$-3x + 4y = 1$
prikažite u matričnom obliku $\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}$, s komponentama u skupu cijelih brojeva $\mathbb{Z}$. Riješite sustav. Za provjeru rješenja pomnožite matricu $\mathbf{A}$ i vektor $\mathbf{x}$ te ispitajte je li umnožak jednak vektoru $\mathbf{b}$. Poništite vrijednosti upotrijebljenih varijabli.
(5) Definicije matrice i vektora:
[ 1 -2] [-3 4] (-1, 1) [ 1 -2] [-3 4] (-1, 1) |
(5) Rješavanje sustava:
(1, 1) (1, 1) |
... ili:
(1, 1) (1, 1) |
(5) Provjera rješenja:
True True |
(5) Poništavanje varijabli:
|
|
... ili:
|
|
2. zadatak
Varijabli $\mathtt{ex1}$ pridružite izraz $\sin (x - y/2)$. Zamijenite $y$ sa $\pi$ i dobiveni izraz pridružite varijabli $\mathtt{ex2}$. Izraz $\mathtt{ex2}$ potpuno pojednostavnite.
(5) Izraz $\mathtt{ex1}$:
sin(x - 1/2*y) sin(x - 1/2*y) |
(5) Zamjena:
sin(-1/2*pi + x) sin(-1/2*pi + x) |
(5) Pojednostavnjenje:
-cos(x) -cos(x) |
3. zadatak
Definirajte funkciju zadanu izrazom $f(x) = e^{-x} - x^3\sqrt{x-\frac{1}{2}}$. Nacrtajte graf funkcije na segmentu $[0,\!6; 1,\!0]$. S pomoću grafa odredite segment duljine 0,1 koji sadrži nul-točku $x_0$ pa je nađite numerički.
(5) Definicija funkcije:
x |--> -sqrt(x - 1/2)*x^3 + e^(-x) x |--> -sqrt(x - 1/2)*x^3 + e^(-x) |
(5) Crtanje:
|
(10) Numeričko rješavanje:
0.8777833948085618 0.8777833948085618 |
4. zadatak
Definirajte funkciju zadanu izrazom $f(x) = e^{x}\,\cos (x)\,\sin (x) $. Odredite njezinu prvu i treću derivaciju.
(5) Definicija funkcije:
x |--> cos(x)*e^x*sin(x) x |--> cos(x)*e^x*sin(x) |
(5) Prva derivacija:
x |--> cos(x)^2*e^x + cos(x)*e^x*sin(x) - e^x*sin(x)^2 x |--> cos(x)^2*e^x + cos(x)*e^x*sin(x) - e^x*sin(x)^2 |
... ili:
x |--> cos(x)^2*e^x + cos(x)*e^x*sin(x) - e^x*sin(x)^2 x |--> cos(x)^2*e^x + cos(x)*e^x*sin(x) - e^x*sin(x)^2 |
... ili ... još desetak varijacija.
(5) Treća derivacija:
x |--> -cos(x)^2*e^x - 11*cos(x)*e^x*sin(x) + e^x*sin(x)^2 x |--> -cos(x)^2*e^x - 11*cos(x)*e^x*sin(x) + e^x*sin(x)^2 |
... ili:
x |--> -cos(x)^2*e^x - 11*cos(x)*e^x*sin(x) + e^x*sin(x)^2 x |--> -cos(x)^2*e^x - 11*cos(x)*e^x*sin(x) + e^x*sin(x)^2 |
... ili:
x |--> -cos(x)^2*e^x - 11*cos(x)*e^x*sin(x) + e^x*sin(x)^2 x |--> -cos(x)^2*e^x - 11*cos(x)*e^x*sin(x) + e^x*sin(x)^2 |
... ili ...
5. zadatak
Numerički izračunajte $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \big|\sin (2x)\,\cos (x/2)\big|\: dx$. Što je drugi broj u rješenju koje Sage ispisuje?
(10) Izračunavanje integrala:
(2.5751611331979682, 2.861692003156002e-14) (2.5751611331979682, 2.861692003156002e-14) |
(5) Drugi broj je ...
|
|
6. zadatak
(10) Nacrtajte kružnicu polumjera 2, sa središtem u točki $(1,1)$, kao graf implicitno zadane funkcije.
|
7. zadatak
(5) Nacrtajte prostornu krivulju parametarski zadanu jednadžbama
$x(t) = \cos t$, $y(t) = \sin t$ i $z = t$ za $t \in [0, 7\pi]$.
|
|
|
|