1. kolokvij iz predmeta Matematički programi za inženjere
(rješenja)
Upišite ime i prezime:
|
|
Upišite JMBAG:
|
|
Upute:
Pri izradi kolokvija možete se služiti svojim bilješkama, radnim listovima predavanja i vježbi te on-line priručnicima Sage-a.
Brojevi u zagradama su bodovi koje donosi točno rješenje zadatka ili njegova dijela.
1. zadatak
Definirajte vektore
- $\vec{a} = 2\vec{\imath} + 3\vec{\jmath} - 4\vec{k}$,
- $\vec{b} = -2\vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + 4\vec{k}$
te izračunajte njihov zbroj i skalarni umnožak te modul vektora $\vec{a}$. Poništite vrijednosti upotrijebljenih varijabli.
(5) Definicije vektora:
(2, 3, -4) (-2, -3, 4) (2, 3, -4) (-2, -3, 4) |
(5) Zbroj vektora:
(0, 0, 0) (0, 0, 0) |
(5) Skalarni umnožak vektora:
-29 -29 |
... ili:
-29 -29 |
(5) Norma vektora $\vec{a}$:
sqrt(29) sqrt(29) |
... ili:
sqrt(29) sqrt(29) |
(5) Poništavanje varijabli:
|
|
... ili:
|
|
2. zadatak
Definirajte funkciju zadanu izrazom $f(x, y) = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$. Definirajte funkciju $g : (x,y) \mapsto g(x,y)$ tako da u funkciji $f$ opće brojeva $a$ i $b$ zamijenite vrijednostima 4 i 3. Izračunajte vrijednost funkcije $g$ u točki $(3,4)$ s točnošću od 66 znamenaka.
(5) Funkcija $f$:
(x, y) |--> sqrt((a - x)^2 + (b - y)^2) (x, y) |--> sqrt((a - x)^2 + (b - y)^2) |
(5) Funkcija $g$:
(x, y) |--> sqrt((x - 4)^2 + (y - 3)^2) (x, y) |--> sqrt((x - 4)^2 + (y - 3)^2) |
(5) Vrijednost funkcije $g$:
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799 |
... ili:
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799 |
3. zadatak
Definirajte funkciju zadanu izrazom $f(x) = 3x^4 - 15x^3 + 18x^2 + 12x - 24$. Odredite njezine korijene i njihove „strukosti”. Uvrštavanjem u funkciju provjerite jednostruko rješenje.
(5) Definicija funkcije:
x |--> 3*x^4 - 15*x^3 + 18*x^2 + 12*x - 24 x |--> 3*x^4 - 15*x^3 + 18*x^2 + 12*x - 24 |
(10) Korijeni i „strukosti”:
([x == -1, x == 2], [1, 3]) ([x == -1, x == 2], [1, 3]) |
(5) Provjera rješenja:
0 0 |
4. zadatak
Definirajte funkciju zadanu izrazom $f(x) = 2e^{-x} - x^2\sqrt{x+1}$ i nacrtajte njezin graf na $x\in [0, 2]$. Odredite prvu i drugu derivaciju funkcije $f$.
(5) Definicija funkcije:
x |--> -sqrt(x + 1)*x^2 + 2*e^(-x) x |--> -sqrt(x + 1)*x^2 + 2*e^(-x) |
(5) Prva derivacija:
x |--> -2*sqrt(x + 1)*x - 1/2*x^2/sqrt(x + 1) - 2*e^(-x) x |--> -2*sqrt(x + 1)*x - 1/2*x^2/sqrt(x + 1) - 2*e^(-x) |
... ili:
x |--> -2*sqrt(x + 1)*x - 1/2*x^2/sqrt(x + 1) - 2*e^(-x) x |--> -2*sqrt(x + 1)*x - 1/2*x^2/sqrt(x + 1) - 2*e^(-x) |
... ili ... još desetak varijacija.
(5) Druga derivacija:
x |--> -2*sqrt(x + 1) - 2*x/sqrt(x + 1) + 1/4*x^2/(x + 1)^(3/2) + 2*e^(-x) x |--> -2*sqrt(x + 1) - 2*x/sqrt(x + 1) + 1/4*x^2/(x + 1)^(3/2) + 2*e^(-x) |
... ili:
x |--> -2*sqrt(x + 1) - 2*x/sqrt(x + 1) + 1/4*x^2/(x + 1)^(3/2) + 2*e^(-x) x |--> -2*sqrt(x + 1) - 2*x/sqrt(x + 1) + 1/4*x^2/(x + 1)^(3/2) + 2*e^(-x) |
... ili:
x |--> -2*sqrt(x + 1) - 2*x/sqrt(x + 1) + 1/4*x^2/(x + 1)^(3/2) + 2*e^(-x) x |--> -2*sqrt(x + 1) - 2*x/sqrt(x + 1) + 1/4*x^2/(x + 1)^(3/2) + 2*e^(-x) |
... ili ...
(5) Graf:
|
5. zadatak
(10) Izračunajte $\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi} \sin (2x)\,\cos (x/2)\, dx$.
0 0 |
6. zadatak
(5) Nacrtajte ravninsku krivulju zadanu parametarskim jednadžbama $x(t) = \sin (3\,t)$, $y(t) = \cos (5\,t)$, $t \in [0, 2\pi]$.
|
7. zadatak
(5) Nacrtajte graf funkcije zadane izrazom $f(x, y) = \ln\,(\cos y/\!\cos x)$ za $(x,\, y) \in [-0,\!5; 1,\!5]\times[-1, 1]$.
|
|
|
|