MPZI_vj08_s_izradom

Integrali i diferencijalne jednadžbe

Neodređeni integral

1. zadatak

Zadana je funkcija  $f(x) = x\,\ln\,x + x^2$.  Izračunajte neodređeni integral funkcije $f(x)$.  Deriviranjem funkcije dobivene integriranjem provjerite rezultat.

... ili:

... strogo matematički:

2. zadatak

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija $\displaystyle f(x) = e^{x+1}\cos(4x)$?  Deriviranjem provjerite dobiveni rezultat (za „vizualnu” će vam usporedbu trebati i funkcija .simplify_full()).

Uputa: tražena je funkcija neodređeni integral zadane funkcije $f(x)$.

... za razliku od nas Sage za usporedbu ne treba pomoć funkcije .simplify_full():

1. zadatak za zadaću

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija $f(x)=x^3\mathrm{arctg}\; x$?  Dobiveni rezultat provjerite deriviranjem.

Određeni integral

3. zadatak

Izračunajte određeni integral $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+2x+5}\, dx$.

... ili:

4. zadatak

(Primjena u kinematici)  Točka se giba po pravcu. Njezina brzina $v$, ovisna o vremenu $t$, zadana je formulom  $\displaystyle v(t) = 0,\!3\,\cos\frac{t}{2} + 0,\!5$.  Koliki put pređe točka od  $t_1 = 0,\!2$  do  $t_2=1$  sekundi?

Uputa: duljina puta jednaka je određenom integralu brzine od $t_1$ do $t_2$.

Rješavanje neposrednom primjenom određenoga integrala:

Rješavanje primjenom neodređenoga integrala i Newton–Leibnizove formule:

2. zadatak za zadaću

Točka se giba brzinom  $v(t)= t + \sqrt{t}$.  Hoće li točka preći dulji put u prvih sedam sekundi ili između osme i jedanaeste sekunde?

5. zadatak

Odredite duljinu luka  grafa funkcije  $f(x)=\sin 2x$  nad segmentom  $[0,\pi/4]$.

Uputa: duljina luka krivulje $y=f(x)$ nad segmentom $[a,\, b]$ jednaka je  $\displaystyle \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$.

„Točna” integracija:

... greška u funkciji integral():  dobiveni rezultat nije ispravan — budući da funkcija $f$ poprima u $0$ vrijednost $0$, a u $\frac{\pi}{4}$ vrijednost $1$, duljina luka mora biti veća od $1$; štoviše, duljina mora biti veća od $\sqrt{\big(\frac{\pi}{4}\big)^2 + 1^2} \approx 1,\!27$:

Numerička integracija daje ispravnu, iako samo približnu vrijednost:

Funkcija numerical_integral() kao rezultat vraća par brojeva; prvi je numerička vrijednost integrala, a drugi ocjena greške.

... ili:

... duljina luka leži u intervalu

3. zadatak za zadaću

Odredite duljinu luka parabole  $f(x) = 3x^2$  od $x_1 = 1$ do $x_2 = 4$.

Napomena:  za izračunavanje ove duljine luka nije nužna numerička integracija, već se zadatak može riješiti i „simboličkom” funkcijom integral(). Pokušajte.

4. zadatak za zadaću

Odredite duljinu luka krivulje koja je graf funkcije  $f(x) = 4\,\mathrm{ln}(x^2+1)$  za  $2 < x < 3$.

Napomena:  zadatak se ne može riješiti simboličkim integriranjem pomoću funkcije integral() (ipak, pokušajte), već se mora primijeniti numerička integracija funkcijom numerical_integral().

6. zadatak

1. Definirajte funkciju  $f(x)=x+\sin(x^2+5)$.
2. Nacrtajte graf funkcije nad segmentom $[1,\,3]$ i opcijom fill = True osjenčajte dio od osi $x$ do grafa. (Uočite da je funkcija nad zadanim segmentom pozitivna.)
3. Izračunajte ploštinu površine koja se proteže od zadanoga segmenta do grafa zadane funkcije.

Uputa:  ako je funkcija pozitivna na segmentu, onda je ploština jednaka određenom integralu na tom segmentu.

... ili:

5. zadatak za zadaću

1. Definirajte funkciju  $\displaystyle f(x)=-\frac{\ln\,x}{x^2+1}$.
2. Nacrtajte graf funkcije nad segmentom $[1,\,2]$ i opcijom fill = True osjenčajte dio od osi $x$ do grafa. (Uočite da je funkcija nad zadanim segmentom negativna.)
3. Izračunajte ploštinu površine koja se proteže od zadanoga segmenta do grafa funkcije.

Uputa:  ako je funkcija negativna na segmentu, onda je ploština jednaka apsolutnoj vrijednosti određenoga integrala na tom segmentu.

6. zadatak za zadaću

Izračunajte ploštinu osjenčane površine, omeđene grafovima funkcija  $f(x) = 2\,\sin (4\,x) + 1$  i  $g(x) = -\dfrac{\sin (8\,x)}{2} + 1$  nad segmentom $[0, \pi/4]$:

Uputa:  tražena je ploština  $\displaystyle A \;\,=\, \int_0^\pi f(x)\,dx - \int_0^\pi g(x)\,dx \,\;=\, \int_0^\pi \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$.

7. zadatak

1. Definirajte funkciju  $h(x)=3-x-\sin\,x^2$.
2. Nacrtajte njezin graf nad segmentom $[0;\,2,\!5]$ i osjenčajte dio ravnine između osi $x$ i grafa.
3. Izračunajte obujam rotacijskoga tijela koje nastaje rotacijom oko osi $y$ dijela ravnine omeđene grafom i segmentom osi $x$.

Uputa: obujam tijela nastaloga rotacijom površine oko osi $y$ računa se po formuli  $\displaystyle V_y = 2\pi \int_a^b x\cdot h(x)\, dx$.

Plohu koja nastaje rotacijom grafa funkcije $h(x)$ oko $y$ osi možemo prikazati pomoću funkcije revolution_plot3d():

7. zadatak za zadaću

Izračunajte obujam tijela koje nastaje kada površina osjenčana u 7. zadatku rotira oko osi $x$.

Uputa:  formula za obujam koji nastaje rotacijom površine oko osi $x$ jest  $\displaystyle V_x = \pi \int_a^b f^2(x)\, dx$.

Diferencijalne jednadžbe

8. zadatak

Neka je $y(x)$ nepoznata funkcija. Riješite diferencijalnu jednadžbu $y'(x) - y(x) = x + 1$.

8. zadatak za zadaću

Riješite diferencijalnu jednadžbu  $2y'(x) - \displaystyle \frac{y(x)}{x} = x^2$.

9. zadatak

Riješite diferencijalnu jednadžbu  $x\, y'(x) - y(x) = x^3$  uz početni uvjet  $y(1) = 2$.

(ics je skraćenica od "Initial ConditionS" — početni uvjeti)

9. zadatak za zadaću

Riješite diferencijalnu jednadžbu  $y'(x) - x\,y(x) = x$  uz početni uvjet  $y(0) = 2$.

Rješenja zadataka za zadaću

Rješenje 1. zadatka za zadaću

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija $f(x)=x^3\mathrm{arctg}\; x$?  Dobiveni rezultat provjerite deriviranjem.

Rješenje 2. zadatka za zadaću

Točka se giba brzinom  $v(t)= t + \sqrt{t}$.  Hoće li točka preći dulji put u prvih sedam sekundi ili između osme i jedanaeste sekunde?

Zaključak: dulji će put točka preći između osme i jednaeste sekunde.

Rješenje 3. zadatka za zadaću

Odredite duljinu luka parabole  $f(x) = 3x^2$  od $x_1 = 1$ do $x_2 = 4$.

... simbolički:

... numerički:

... dakle, duljina luka leži u intervalu

Rješenje 4. zadatka za zadaću

Odredite duljinu luka krivulje koja je graf funkcije  $f(x) = 4\,\mathrm{ln}(x^2+1)$  za  $2 < x < 3$.

Rješenje 5. zadatka za zadaću

1. Definirajte funkciju  $\displaystyle f(x)=-\frac{\ln\,x}{x^2+1}$.
2. Nacrtajte graf funkcije nad segmentom $[1,\,2]$ i opcijom fill = True osjenčajte dio od osi $x$ do grafa. (Uočite da je funkcija nad zadanim segmentom negativna.)
3. Izračunajte ploštinu površine koja se proteže od zadanoga segmenta do grafa funkcije.

Uputa: ako je funkcija negativna na segmentu, onda je ploština jednaka apsolutnoj vrijednosti određenoga integrala po tom segmentu.

Rješenje 6. zadatka za zadaću

Izračunajte ploštinu površine omeđene grafovima funkcija  $f(x) = 2\,\sin (4\,x) + 1$  i  $g(x) = -\dfrac{\sin (8\,x)}{2} + 1$  nad segmentom $[0, \pi/4]$.

Uputa:  tražena je ploština  $\displaystyle A \;\,=\, \int_0^\pi f(x)\,dx - \int_0^\pi g(x)\,dx \,\;=\, \int_0^\pi \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$.

... ili:

Rješenje 7. zadatka za zadaću

Izračunajte obujam tijela koje nastaje kada površina osjenčana u 7. zadatku rotira oko osi $x$.

Uputa:  formula za obujam koji nastaje rotacijom površine oko osi $x$ glasi  $\displaystyle V_x = \pi \int_a^b f^2(x)\, dx$.

Plohu koja nastaje rotacijom grafa funkcije $h(x)$ oko $x$ osi možemo vidjeti pomoću funkcije revolution_plot3d():

Rješenje 8. zadatka za zadaću

Riješite diferencijalnu jednadžbu  $2y'(x) - \displaystyle \frac{y(x)}{x} = x^2$.

Rješenje 9. zadatka za zadaću

Riješite diferencijalnu jednadžbu  $y'(x) - x\,y(x) = x$  uz početni uvjet  $y(0) = 2$.