MPZI_predavanje_03

Grafika (1)

Prikaz ravninskih krivulja

Eksplicitni ili razvijeni prikaz funkcija:    $\boldsymbol{y = f(x)}$

Iz poznate implicitne jednadžbe kružnice polumjera $r$, sa središtem u točki $(x_0, y_0)$,

          $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$,

dobivamo

Primjerice,  za $x_0 = 1,\!25$,  $y_0 = 0$  i  $r = 2$  su

• aspect_ratio — omjer duljina jediničnih dužina na osima $y$ i $x$
  
  •  u funkciji plot() podrazumijeva se 'automatic', čime se dobiva crtež s omjerom visine i širine približno $2/3$

• dva crteža ili više njih prikazujemo na istoj slici „zbrajanjem”:

•  fill — popunjavanje (sjenčanje):
  •  True ili 'axis' — između osi $x$ i krivulje,
  •  'min' i 'max' — između krivulje i horizontalnog pravca u visini njezine najmanje i najveće vrijednosti,
  •  broj $c$ — između krivulje i pravca $y = c$,
  •  funkcija $g$ — između krivulje i grafa funkcije $g$

•  linestyle — način crtanja linije:
  •  '-' ili 'solid' — puna linija (podrazumijeva se),
  •  ':' ili 'dotted' — točkasto,
  •  '--' ili 'dashed' — crtkano,
  •  '-.' ili 'dashdot' — točka–crta,
  •  ' ' ili 'None' — ništa

Sve opcije funkcije plot() navedene su u priručniku.

Implicitni ili nerazvijeni prikaz funkcija:   $\boldsymbol{f(x,y) = 0}$

•  često i u obliku  $f(x,y) = c$,  a katkada i u obliku  $f(x,y) = g(x,y)$

Kružnica polumjera $r$, sa središtem u točki $(x_0, y_0)$: 

          $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \,=\, r^2$

ili

          $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - r^2 \,=\, 0$

ili

          $\dfrac{(x - x_0)^2}{r^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{r^2} \,=\, 1$

ili

          $\dfrac{(x - x_0)^2}{r^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{r^2} - 1 \,=\, 0$

• podrazumijevani aspect_ratio je 1

• fill = True — ako je implicitna funkcija izražena u obliku $f(x, y) = 0$, sjenča se dio ravnine u kojem je $f(x, y) < 0$ 

Elipsa sa središtem u ishodištu i poluosima $a$ i $b$:  $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Hiperbola sa središtem u ishodištu i poluosima $a$ i $b$:  $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

... asimptote:  $y = \pm\dfrac{b}{a} x$

Dürerova školjka:  $(x^2 + x\,y + a\,x - b^2)^2 = (b^2 - x^2)\,(x - y + a)^2$

•  Dürer je krivulju otkrio proučavajući zakone perspektive

Parametarski prikaz funkcija:   $\boldsymbol{x = f_1(t)}$,  $\boldsymbol{y = f_2(t)}$

Kružnica polumjera $r$, sa središtem u točki $(x_0, y_0)$:   $x = r\,\cos t + x_0$,   $y = r\,\sin t + y_0$,   $t\in [0, 2\,\pi]$

... parametarski prikaz nije „jedinstven”:

•  podrazumijevani aspect_ratio je 1

Pravci:

... koja će krivulja biti nacrtana?

Hipotrohoida:   $x = (R - r)\,\cos(t) + d\,\cos((R/r -1)\,t)$,   $y = (R - r)\,\sin(t) - d\,\sin((R/r -1)\,t)$,   $t\in [0, t_{\mathrm{max}}]$

• kružnica polumjera $r$ kotrlja se s unutarnje strane po kružnici polumjera $R$; središtem kružnice $r$ i jednom njezinom točkom prolazi odsječak pravca na kojem je, na udaljenosti $d$ od središta $\Big(d \lesseqqgtr r\Big)$, točka koja opisuje hipotrohoidu
• primjerice,  $R = 5$,  $r = 3$,  $d = 5$:       

• ako je  $d = r$,  krivulja se naziva hipocikloidom:

Epitrohoida:   $x = (R + r)\,\cos(t) - d\,\cos((R/r + 1)\,t)$,   $y = (R + r)\,\sin(t) - d\,\sin((R/r + 1)\,t$,   $t\in [0, t_{\mathrm{max}}]$

• razlika je u odnosu na hipotrohoidu u tome što se kružnica $r$ sada po kružnici $R$ kotrlja s vanjske strane:

• planeti Sunčeva sistema, promatrani sa Zemlje, putuju—približno—po epitrohoidama: Curves of planetary motion in geocentric perspective
• ako je  $d = r$,  krivulja se naziva epicikloidom:

Još neke ravninske krivulje možete pronaći na stranici Famous Curves Index.

Prikaz prostornih krivulja

Parametarski prikaz funkcija:   $\boldsymbol{x = f_1(t)}$,  $\boldsymbol{y = f_2(t)}$,  $\boldsymbol{z = f_3(t)}$

• aspect_ratio — u prikazima prostornih tvorevina (krivulja, ploha i tijela), duljine jediničnih dužina na osima $x$, $y$ i $z$; zadaje se kao uređena trojka brojeva:  ($e_x$, $e_y$, $e_z$)  ili  [$e_x$, $e_y$, $e_z$] 
  
  • u funkciji parametric_plot3d() podrazumijeva se 'automatic', što znači da se duljine $e_x$, $e_y$ i $e_z$ odabiru tako da je kvadar koji obuhvaća prostornu tvorevinu prikazan kao kocka

Spirala (zavojnica):   $x = \cos t$,   $y = \sin t$,   $z = t$

Zavojnica na stošcu:   $x = t\,\cos t$,   $y = t\,\sin t$,   $z = t$

Loksodroma:   $x = \cos t/\mathrm{ch}\,(a\,t)$,   $y = \sin t/\mathrm{ch}\,(a\,t)$,   $z = \mathrm{th}\,(a\,t)$

•  krivulja na globusu koja sve meridijane siječe pod istim kutem $\beta$;  $a = \mathrm{ctg}\,\beta$

Vivianijeva krivulja:   $x = 1 + \cos t$,   $y = \sin t$,   $z = 2\,\sin \dfrac{t}{2}$

• prodorna krivulja valjka i sfere, ako valjak i sfera imaju zajedničku dirnu ravninu i valjak prolazi središtem sfere  (prodor ćemo nacrtati na sljedećem predavanju)

Osnovne ravninske i prostorne tvorevine

Ravninske tvorevine

Prostorne tvorevine

Slika iz priručnika (cape man):