Processing math: 100%

MPZI_predavanje_03

2479 days ago by fresl

Grafika (1)


Jednom je ili dvaput zavirila u knjigu koju je njezina sestra čitala, ali u njoj nije bilo ni slika ni razgovorâ, „a kakva je svrha knjige”, mislila je Alisa, „bez slika ili razgovorâ?”

L. Carroll:  Alisa u zemlji čudesa




 

Prikaz ravninskih krivulja



Eksplicitni ili razvijeni prikaz funkcija:    $\boldsymbol{y = f(x)}$

 

       
y
y

Iz poznate implicitne jednadžbe kružnice polumjera $r$, sa središtem u točki $(x_0, y_0)$,

          $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$,

dobivamo

       
y=y0r2x2+2xx0x20
y=y0+r2x2+2xx0x20
                                
                            

                                

Primjerice,  za $x_0 = 1,\!25$,  $y_0 = 0$  i  $r = 2$  su

       
x  x2+52x+3916
                                
                            

                                
       
x  x2+52x+3916
                                
                            

                                
       
verbose 0 (3763: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed
to evaluate function at 41 points.
verbose 0 (3763: plot.py, generate_plot_points) Last error message: 'math domain
error'
verbose 0 (3763: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 41 points.
verbose 0 (3763: plot.py, generate_plot_points) Last error message: 'math domain error'
       
[[x >= (-3/4), x <= (13/4)]]
[[x >= (-3/4), x <= (13/4)]]
       
  • aspect_ratio — omjer duljina jediničnih dužina na osima $y$ i $x$
    •  u funkciji plot() podrazumijeva se 'automatic', čime se dobiva crtež s omjerom visine i širine približno $2/3$
       
       
       
       
  • dva crteža ili više njih prikazujemo na istoj slici „zbrajanjem”:
       
       
       
  •  fill — popunjavanje (sjenčanje):
    •  True ili 'axis' — između osi $x$ i krivulje,
    •  'min' i 'max' — između krivulje i horizontalnog pravca u visini njezine najmanje i najveće vrijednosti,
    •  broj $c$ — između krivulje i pravca $y = c$,
    •  funkcija $g$ — između krivulje i grafa funkcije $g$
       
  •  linestyle — način crtanja linije:
    •  '-' ili 'solid' — puna linija (podrazumijeva se),
    •  ':' ili 'dotted' — točkasto,
    •  '--' ili 'dashed' — crtkano,
    •  '-.' ili 'dashdot' — točka–crta,
    •  ' ' ili 'None' — ništa
       

Sve opcije funkcije plot() navedene su u priručniku.



Implicitni ili nerazvijeni prikaz funkcija:   $\boldsymbol{f(x,y) = 0}$

  •  često i u obliku  $f(x,y) = c$,  a katkada i u obliku  $f(x,y) = g(x,y)$

 

Kružnica polumjera $r$, sa središtem u točki $(x_0, y_0)$: 

          $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \,=\, r^2$

ili

          $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 - r^2 \,=\, 0$

ili

          $\dfrac{(x - x_0)^2}{r^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{r^2} \,=\, 1$

ili

          $\dfrac{(x - x_0)^2}{r^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{r^2} - 1 \,=\, 0$

       
  • podrazumijevani aspect_ratio je 1
       
       
  • fill = True — ako je implicitna funkcija izražena u obliku $f(x, y) = 0$, sjenča se dio ravnine u kojem je $f(x, y) < 0$ 
       
       
       

Elipsa sa središtem u ishodištu i poluosima $a$ i $b$:  $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

reset
       

 

Hiperbola sa središtem u ishodištu i poluosima $a$ i $b$:  $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

reset
       

... asimptote:  $y = \pm\dfrac{b}{a} x$

reset
       

 

Dürerova školjka:  $(x^2 + x\,y + a\,x - b^2)^2 = (b^2 - x^2)\,(x - y + a)^2$

  •  Dürer je krivulju otkrio proučavajući zakone perspektive
reset
       



Parametarski prikaz funkcija:   $\boldsymbol{x = f_1(t)}$,  $\boldsymbol{y = f_2(t)}$

 

Kružnica polumjera $r$, sa središtem u točki $(x_0, y_0)$:   $x = r\,\cos t + x_0$,   $y = r\,\sin t + y_0$,   $t\in [0, 2\,\pi]$

       

... parametarski prikaz nije „jedinstven”:

       
       
       
  •  podrazumijevani aspect_ratio je 1

 

Pravci:

       
       
       
       
       
       
       
       

... koja će krivulja biti nacrtana?

 

 

 

 

 

 

 

       
       
       
       
       
       
       


Hipotrohoida:   $x = (R - r)\,\cos(t) + d\,\cos((R/r -1)\,t)$,   $y = (R - r)\,\sin(t) - d\,\sin((R/r -1)\,t)$,   $t\in [0, t_{\mathrm{max}}]$

  • kružnica polumjera $r$ kotrlja se s unutarnje strane po kružnici polumjera $R$; središtem kružnice $r$ i jednom njezinom točkom prolazi odsječak pravca na kojem je, na udaljenosti $d$ od središta $\Big(d \lesseqqgtr r\Big)$, točka koja opisuje hipotrohoidu
  • primjerice,  $R = 5$,  $r = 3$,  $d = 5$:       

 

reset
       

Click to the left again to hide and once more to show the dynamic interactive window


Epitrohoida:   $x = (R + r)\,\cos(t) - d\,\cos((R/r + 1)\,t)$,   $y = (R + r)\,\sin(t) - d\,\sin((R/r + 1)\,t$,   $t\in [0, t_{\mathrm{max}}]$

  • razlika je u odnosu na hipotrohoidu u tome što se kružnica $r$ sada po kružnici $R$ kotrlja s vanjske strane:

 

reset
       

 

Još neke ravninske krivulje možete pronaći na stranici Famous Curves Index.

 

 


Prikaz prostornih krivulja

 


Parametarski prikaz funkcija:   $\boldsymbol{x = f_1(t)}$,  $\boldsymbol{y = f_2(t)}$,  $\boldsymbol{z = f_3(t)}$

       
       
       
  • aspect_ratio — u prikazima prostornih tvorevina (krivulja, ploha i tijela), duljine jediničnih dužina na osima $x$, $y$ i $z$; zadaje se kao uređena trojka brojeva:  ($e_x$, $e_y$, $e_z$)  ili  [$e_x$, $e_y$, $e_z$] 
    • u funkciji parametric_plot3d() podrazumijeva se 'automatic', što znači da se duljine $e_x$, $e_y$ i $e_z$ odabiru tako da je kvadar koji obuhvaća prostornu tvorevinu prikazan kao kocka
       
       
       
       

 

Spirala (zavojnica):   $x = \cos t$,   $y = \sin t$,   $z = t$

       
       

 

Zavojnica na stošcu:   $x = t\,\cos t$,   $y = t\,\sin t$,   $z = t$

       


Loksodroma:   $x = \cos t/\mathrm{ch}\,(a\,t)$,   $y = \sin t/\mathrm{ch}\,(a\,t)$,   $z = \mathrm{th}\,(a\,t)$

  •  krivulja na globusu koja sve meridijane siječe pod istim kutem $\beta$;  $a = \mathrm{ctg}\,\beta$
       
       

 

Vivianijeva krivulja:   $x = 1 + \cos t$,   $y = \sin t$,   $z = 2\,\sin \dfrac{t}{2}$

  • prodorna krivulja valjka i sfere, ako valjak i sfera imaju zajedničku dirnu ravninu i valjak prolazi središtem sfere  (prodor ćemo nacrtati na sljedećem predavanju)
       



Osnovne ravninske i prostorne tvorevine


Ravninske tvorevine


       
       
       
WARNING: Output truncated!  
full_output.txt


['aliceblue',
 'antiquewhite',
 'aqua',
 'aquamarine',
 'automatic',
 'azure',
 'beige',
 'bisque',
 'black',
 'blanchedalmond',
 'blue',
 'blueviolet',
 'brown',
 'burlywood',
 'cadetblue',
 'chartreuse',
 'chocolate',
 'coral',
 'cornflowerblue',
 'cornsilk',
 'crimson',
 'cyan',
 'darkblue',
 'darkcyan',
 'darkgoldenrod',
 'darkgray',
 'darkgreen',
 'darkgrey',
 'darkkhaki',
 'darkmagenta',
 'darkolivegreen',
 'darkorange',
 'darkorchid',
 'darkred',
 'darksalmon',
 'darkseagreen',
 'darkslateblue',
 'darkslategray',
 'darkslategrey',
 'darkturquoise',
 'darkviolet',
 'deeppink',
 'deepskyblue',
 'dimgray',
 'dimgrey',
 'dodgerblue',
 'firebrick',
 'floralwhite',
 'forestgreen',
 'fuchsia',
 'gainsboro',
 'ghostwhite',
 'gold',
 'goldenrod',
 'gray',
 'green',
 'greenyellow',
 'grey',
 'honeydew',

...

 'mediumaquamarine',
 'mediumblue',
 'mediumorchid',
 'mediumpurple',
 'mediumseagreen',
 'mediumslateblue',
 'mediumspringgreen',
 'mediumturquoise',
 'mediumvioletred',
 'midnightblue',
 'mintcream',
 'mistyrose',
 'moccasin',
 'navajowhite',
 'navy',
 'oldlace',
 'olive',
 'olivedrab',
 'orange',
 'orangered',
 'orchid',
 'palegoldenrod',
 'palegreen',
 'paleturquoise',
 'palevioletred',
 'papayawhip',
 'peachpuff',
 'peru',
 'pink',
 'plum',
 'powderblue',
 'purple',
 'red',
 'rosybrown',
 'royalblue',
 'saddlebrown',
 'salmon',
 'sandybrown',
 'seagreen',
 'seashell',
 'sienna',
 'silver',
 'skyblue',
 'slateblue',
 'slategray',
 'slategrey',
 'snow',
 'springgreen',
 'steelblue',
 'tan',
 'teal',
 'thistle',
 'tomato',
 'turquoise',
 'violet',
 'wheat',
 'white',
 'whitesmoke',
 'yellow',
 'yellowgreen']
WARNING: Output truncated!  
full_output.txt


['aliceblue',
 'antiquewhite',
 'aqua',
 'aquamarine',
 'automatic',
 'azure',
 'beige',
 'bisque',
 'black',
 'blanchedalmond',
 'blue',
 'blueviolet',
 'brown',
 'burlywood',
 'cadetblue',
 'chartreuse',
 'chocolate',
 'coral',
 'cornflowerblue',
 'cornsilk',
 'crimson',
 'cyan',
 'darkblue',
 'darkcyan',
 'darkgoldenrod',
 'darkgray',
 'darkgreen',
 'darkgrey',
 'darkkhaki',
 'darkmagenta',
 'darkolivegreen',
 'darkorange',
 'darkorchid',
 'darkred',
 'darksalmon',
 'darkseagreen',
 'darkslateblue',
 'darkslategray',
 'darkslategrey',
 'darkturquoise',
 'darkviolet',
 'deeppink',
 'deepskyblue',
 'dimgray',
 'dimgrey',
 'dodgerblue',
 'firebrick',
 'floralwhite',
 'forestgreen',
 'fuchsia',
 'gainsboro',
 'ghostwhite',
 'gold',
 'goldenrod',
 'gray',
 'green',
 'greenyellow',
 'grey',
 'honeydew',

...

 'mediumaquamarine',
 'mediumblue',
 'mediumorchid',
 'mediumpurple',
 'mediumseagreen',
 'mediumslateblue',
 'mediumspringgreen',
 'mediumturquoise',
 'mediumvioletred',
 'midnightblue',
 'mintcream',
 'mistyrose',
 'moccasin',
 'navajowhite',
 'navy',
 'oldlace',
 'olive',
 'olivedrab',
 'orange',
 'orangered',
 'orchid',
 'palegoldenrod',
 'palegreen',
 'paleturquoise',
 'palevioletred',
 'papayawhip',
 'peachpuff',
 'peru',
 'pink',
 'plum',
 'powderblue',
 'purple',
 'red',
 'rosybrown',
 'royalblue',
 'saddlebrown',
 'salmon',
 'sandybrown',
 'seagreen',
 'seashell',
 'sienna',
 'silver',
 'skyblue',
 'slateblue',
 'slategray',
 'slategrey',
 'snow',
 'springgreen',
 'steelblue',
 'tan',
 'teal',
 'thistle',
 'tomato',
 'turquoise',
 'violet',
 'wheat',
 'white',
 'whitesmoke',
 'yellow',
 'yellowgreen']


Prostorne tvorevine


       
       

Slika iz priručnika (cape man):