Limesi i derivacije
Limesi nizova i funkcija
1. zadatak
Izračunajte limes niza čiji je opći član $a_n = \displaystyle \frac{ 2^{n+1} + 3 ^{n+1} }{ 2^n + 3^n }$ kada $n$ teži prema beskonačnosti.
|
|
2. zadatak
Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = \frac{\sin(x)}{|x|}$ .
Funkcija, očito, nije definirana u $ x=0$. Odredite njezin limes s lijeva i s desna kada $x$ teži prema $0$.
Za geometrijski prikaz rezultata nacrtajte graf funkcije f nad segmentom $[-5,5]$.
|
|
|
|
|
|
|
1. zadatak za zadaću
Izračunajte limes funkcije $\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2+2x+\cos(x+1)}$ za $x \to -1$.
|
|
3. zadatak
- Definirajte funkciju $\displaystyle f(x) =\frac{ x^3}{x^2-1}$.
- Odredite vertikalne asimptote te funkcije (vertikalne se asimptote mogu pojaviti u nul–točkama nazivnika).
- Pokažite da graf funkcije ima jednu kosu asimptotu i odredite njezinu jednadžbu. Uputa: Pravac $y=kx+l$ je kosa asimptota ako je $\displaystyle k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $\displaystyle l = \lim_{x\to\infty} (f(x)-k\cdot x)$ ili $\displaystyle k = \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $\displaystyle l = \lim_{x\to-\infty} (f(x)-k\cdot x)$; parovi uvjeta mogu, ali ne moraju dati istu asimptotu.
- Nacrtajte graf funkcije f i njegove asimptote nad segmentom $[-4,4]$. Vrijednosti funkcije ograničite na segment $[-10, 10]$. Neka je duljina jedinice na osi $y$ upola kraća od duljine jedinice na osi $x$. Kosu asimptotu nacrtajte crvenom bojom. Vertikalnu asimptotu dobivate opcijom detect_poles='show' funkcije plot().
- Uklonite funkciju f.
|
|
- Određivanje vertikalnih asimptota:
|
|
- prva:
|
|
|
|
- druga:
|
|
|
|
Znači, pravci $x=1$ i $x=-1$ su vertikalne asimptote.
- Određivanje kosih asimptota:
|
|
|
|
|
|
|
|
Kosa asimptota je $y=x$.
|
... ili
|
- Uklanjanje funkcije:
|
|
Traceback (click to the left of this block for traceback) ... NameError: name 'f' is not defined Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "_sage_input_21.py", line 10, in <module>
exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("Zg=="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
File "", line 1, in <module>
File "/tmp/tmpPL6533/___code___.py", line 2, in <module>
exec compile(u'f
File "", line 1, in <module>
NameError: name 'f' is not defined
|
2. zadatak za zadaću
- Definirajte funkciju $f\displaystyle (x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$.
- Odredite njezine kose asimptote za $x \to +\infty$ i za $x \to -\infty$ (dobit ćete dvije različite asimpote).
- Nacrtajte graf funkcije $f$ i njegove asimptote nad segmentom $[-5, 9]$; upotrijebite različite boje. Neka jedinice na osima budu jednake.
- Uklonite funkciju ’f’.
|
|
Derivacije funkcija
4. zadatak
Za funkciju $\displaystyle g(x)=\frac{\sin(x)}{x+1}$ izračunajte
- prvu i treću derivaciju,
- numeričku vrijednost njezine pete derivacije za $x=6$.
Prva derivacija:
|
|
|
|
... ili, kraće:
|
|
... ili, najkraće:
|
|
Treća:
|
|
... ili:
|
|
Peta:
|
|
|
|
|
|
... ili:
|
|
... ali:
__main__:3: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...) See http://trac.sagemath.org/5930 for details. __main__:3: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...) See http://trac.sagemath.org/5930 for details. |
- u prvom smo zadatku uveli varijablu n koja je „sakrila” funkciju n(); izvorno značenje „skrivenih” naziva možemo vratiti funkcijom reset():
|
|
|
|
5. zadatak
(Primjena u kinematici) Točka se giba po pravcu brzinom $v(t) = t^2 + \sqrt{t}$. Koliko je ubrzanje te točke u trenutku $t_0 = 1,\!5$?
Uputa: ubrzanje u trenutku $t_0$ jednako je vrijednosti derivacije brzine za $t = t_0$.
|
|
3. zadatak za zadaću
Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = 3x\sin\frac{x^2+1}{\sqrt{2+x^4}}$. Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za $x_0=\mathrm{tg}\,3$: prva ili druga?
|
|
4. zadatak za zadaću
Da li funkcija $f(x) = \sin(x) + \cos(2x) + \sin(3x)$ raste ili pada u točki $x_0 = 2,\!3$?
Uputa: funkcija $f(x)$ raste u točki $x_0$ ako je $f'(x_0) > 0$, a pada ako je $f'(x_0) < 0$.
|
|
5. zadatak za zadaću
Za funkciju $f(x) = x^4 - 10 x^2 + 9$ odredite područje u kojemu raste.
Uputa: funkcija $f(x)$ raste za one vrijednosti varijable $x$ za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom solve()) nejednadžbu $f'(x) > 0$.
|
|
6. zadatak
Odredite lokalne ekstreme funkcije $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+8}{x-2}$.
1. korak:
- definirajte funkciju,
- izračunajte njezinu prvu derivaciju,
- pomoću funkcije solve() odredite nul–točke dobivene derivacije.
|
|
|
|
|
|
2. korak:
- s pomoću druge derivacije odredite prirodu ekstrema: ako je druga derivacija u stacionarnoj točki veća od nule, funkcija ima minimum, a ako je manja od nule, maksimum.
|
|
|
|
|
|
Zaključak:
- u točki $(-1,\!464\,10;\, -2,\!928\,20)$ funkcija ima maksimum,
- u točki $(5,\!464\,10;\, 10,\!928\,2)$ funkcija ima minimum.
Za provjeru nacrtajte graf funkcije na segmentu $[-20, 20]$ ograničivši vrijednosti funkcije sa $-20 < y < 20$. Slici dodajte prikaz ekstrema tako da točke nacrtate funkcijom point2d().
Upotreba funkcije point2d():
point2d ( (x-koord, y-koord), size = 10, opcije )
podrazumijevana vrijednost opcije size je 10, no može se zadati i druga veličina. Umjesto jednoga para koordinata, može se zadati više točaka kao lista parova koordinata.
|
7. zadatak
Funkciju $f(x) = \sin x$ aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$, polinomom trećega stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$; graf aproksimacije nacrtajte crvenom bojom.
Uputa: upotrijebite Taylorov polinom.
|
|
|
6. zadatak za zadaću
Funkciju $f(x) = \sin x$ aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$, polinomom sedmog stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.
Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 7. zadataka i ocijenite utjecaj porasta stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.
|
|
8. zadatak
Za funkciju $\displaystyle f(x, y) = \frac{\sin\,x}{y+6}$ izračunajte
- prve parcijalne derivacije po $x$ i $y$ (simbolički: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ i $\dfrac{\partial f}{\partial y}$),
- drugu derivaciju, oba puta po $x$ (simbolički: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$), te izračunajte njezinu vrijednost u točki $(0, -3)$,
- vrijednosti svih drugih parcijalnih derivacija u točki $(0, -3)$. Uputa: upotrijebite Hesseovu matricu.
|
|
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}$:
|
|
- $\dfrac{\partial f}{\partial y}$:
|
|
- $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$:
|
|
... ili
|
|
|
|
- Hesseova matrica:
$H (f) = \left[\begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\[1.125ex] \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array} \right]$
|
|
|
|
7. zadatak za zadaću
Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije $f(x,y) = \ln\,\dfrac{\cos y}{\cos x}$.
|
|
Rješenje 1. zadatka za zadaću
Izračunajte limes funkcije $\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2+2x+\cos(x+1)}$ za $x \to -1$.
|
|
Rješenje 2. zadatka za zadaću
- Definirajte funkciju $f\displaystyle (x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$.
- Odredite njezine kose asimptote za $x \to +\infty$ i za $x \to -\infty$ (dobit ćete dvije različite asimpote).
- Nacrtajte graf funkcije $f$ i njegove asimptote nad segmentom $[-5, 9]$; upotrijebite različite boje. Neka jedinice na osima budu jednake.
- Uklonite funkciju f.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... kose asimptote su: $y = x - 2$ i $y = -x + 2$
|
|
|
|
|
Rješenje 3. zadatka za zadaću
Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = 3x\sin\frac{x^2+1}{\sqrt{2+x^4}}$. Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za $x_0=\mathrm{tg}\,3$: prva ili druga?
|
|
Zaključak: veća je vrijednost prve derivacije:
|
|
Rješenje 4. zadatka za zadaću
Da li funkcija $f(x) = \sin(x) + \cos(2x) + \sin(3x)$ raste ili pada u točki $x_0 = 2,\!3$?
Uputa: funkcija $f(x)$ raste u točki $x_0$ ako je $f'(x_0) > 0$, a pada ako je $f'(x_0) < 0$.
|
|
Zaključak: funkcija raste.
Rješenje 5. zadatka za zadaću
Za funkciju $f(x) = x^4 - 10 x^2 + 9$ odredite područje u kojemu raste.
Uputa: funkcija $f(x)$ raste za one vrijednosti varijable $x$ za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom solve()) nejednadžbu $f'(x) > 0$.
|
|
Funkcija raste za $x \in (-\sqrt{5}, 0) \cup (\sqrt{5}, \infty)$
|
Rješenje 6. zadatka za zadaću
Funkciju $f(x) = \sin x$ aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$, polinomom sedmoga stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.
Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 8. zadataka i ocijenite utjecaj stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.
|
|
|
Crtež s grafom polinoma 3. stupnja (iz 8. zadatka):
|
|
|
Rješenje 7. zadatka za zadaću
Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije $f(x,y) = \ln\,\dfrac{\cos y}{\cos x}$.
|
|
|
|
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}$:
|
|
|
|
- $\dfrac{\partial f}{\partial y}$:
|
|
|
|
- gradijent funkcije $f$ (vektor koji sadrži obje prve derivacije funkcije $f$):
$\nabla f = \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \;\: \dfrac{\partial f}{\partial y} \right]^\mathrm{T}$
|
|
- $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$:
|
|
|
|
- $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$:
|
|
|
|
- $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$:
|
|
|
|
- $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$:
|
|
|
|
- Hesseova matrica funkcije $f$ (matrica koja sadrži sve četiri druge derivacije funkcije $f$):
|
|
|
|