MPZI_vj07_s_izradom -- Sage

Limesi i derivacije

Limesi nizova i funkcija

1. zadatak

Izračunajte limes niza čiji je opći član $a_n = \displaystyle \frac{ 2^{n+1} + 3 ^{n+1} }{ 2^n + 3^n }$ kada $n$ teži prema beskonačnosti.

var ('n')
limit ((2^(n+1) + 3^(n+1)) / (2^n + 3^n), n = oo)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3$

2. zadatak

Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = \frac{\sin(x)}{|x|}$ .
Funkcija, očito, nije definirana u $x=0$ . Odredite njezin limes s lijeva i s desna kada $x$ teži prema $0$ .

Za geometrijski prikaz rezultata nacrtajte graf funkcije nad segmentom $[-5,5]$ .

f(x) = sin(x)/abs(x)
f

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\sin\left(x\right)}{{\left| x \right|}}$

limit (f(x), x = 0, dir = '-')

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-1$

limit (f(x), x = 0, dir = '+')

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1$

plot (f, (x, -5, 5))

1. zadatak za zadaću

Izračunajte limes funkcije $\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2+2x+\cos(x+1)}$ za $x \to -1$ .

3. zadatak

Definirajte funkciju $\displaystyle f(x) =\frac{ x^3}{x^2-1}$ .
Odredite vertikalne asimptote te funkcije (vertikalne se asimptote mogu pojaviti u nul–točkama nazivnika).
Pokažite da graf funkcije ima jednu kosu asimptotu i odredite njezinu jednadžbu Uputa: Pravac $y=kx+l$ je kosa asimptota ako je $\displaystyle k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $\displaystyle l = \lim_{x\to\infty} (f(x)-k\cdot x)$ ili $\displaystyle k = \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $\displaystyle l = \lim_{x\to-\infty} (f(x)-k\cdot x)$ ; parovi uvjeta mogu, ali ne moraju dati istu asimptotu.
Nacrtajte graf funkcije i njegove asimptote nad segmentom $[-4,4]$ . Vrijednosti funkcije ograničite na segment $[-10, 10]$ . Neka je duljina jedinice na osi $y$ upola kraća od duljine jedinice na osi $x$ . Kosu asimptotu nacrtajte crvenom bojom. Vertikalnu asimptotu dobivate opcijom detect_poles='show' funkcije plot().
Uklonite funkciju f.

f(x) = x^3/(x^2-1)
f

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}$

Određivanje vertikalnih asimptota:

solve (x^2-1 == 0, x)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = \left(-1\right), x = 1\right]$

prva:

limit (f(x), x = -1, dir = '-')

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\infty$

limit (f(x), x = -1, dir = '+')

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}+\infty$

druga:

limit (f(x), x = 1, dir = '-')

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\infty$

limit (f(x), x = 1, dir = '+')

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}+\infty$

Znači, pravci $x=1$ i $x=-1$ su vertikalne asimptote.

Određivanje kosih asimptota:

limit (f(x)/x, x = oo)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1$

limit (f(x) - 1*x, x = oo)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$

limit (f(x)/x, x = -oo)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1$

limit (f(x) - 1*x, x = -oo)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$

Kosa asimptota je $y=x$ .

p1 = plot (f(x), (x, -4, 4), detect_poles = 'show', ymin = -10, ymax = 10, aspect_ratio = 1/2)
p2 = plot (x, (x, -4, 4), color = 'red', ymin = -10, ymax = 10, aspect_ratio = 1/2)
p1 + p2

... ili

p1 = plot (f(x), (x, -4, 4), detect_poles = 'show')
p2 = plot (x, (x, -4, 4), color = 'red')
show (p1 + p2 , aspect_ratio = 1/2, ymin = -10, ymax = 10)

Uklanjanje funkcije:

reset ('f')

f

Traceback (click to the left of this block for traceback)
...
NameError: name 'f' is not defined

Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_21.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("Zg=="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/tmp/tmpPL6533/___code___.py", line 2, in <module>
    exec compile(u'f
  File "", line 1, in <module>
    
NameError: name 'f' is not defined

2. zadatak za zadaću

Definirajte funkciju $f\displaystyle (x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$ .
Odredite njezine kose asimptote za $x \to +\infty$ i za $x \to -\infty$ (dobit ćete dvije različite asimpote).
Nacrtajte graf funkcije $f$ i njegove asimptote nad segmentom $[-5, 9]$ ; upotrijebite različite boje. Neka jedinice na osima budu jednake.
Uklonite funkciju ’f’.

Derivacije funkcija

4. zadatak

Za funkciju $\displaystyle g(x)=\frac{\sin(x)}{x+1}$ izračunajte

prvu i treću derivaciju,
numeričku vrijednost njezine pete derivacije za $x=6$ .

Prva derivacija:

g(x) = sin(x)/(x+1)
g

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\sin\left(x\right)}{x + 1}$

derivative (g, x)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1} - \frac{\sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{2}}$

... ili, kraće:

diff (g, x)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1} - \frac{\sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{2}}$

... ili, najkraće:

diff (g)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1} - \frac{\sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{2}}$

Treća:

diff (g, x, 3)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ -\frac{\cos\left(x\right)}{x + 1} + \frac{3 \, \sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \frac{6 \, \cos\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{3}} - \frac{6 \, \sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{4}}$

... ili:

diff (g, 3)

Peta:

h = diff (g, 5)
h

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\cos\left(x\right)}{x + 1} - \frac{5 \, \sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{2}} - \frac{20 \, \cos\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{3}} + \frac{60 \, \sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{4}} + \frac{120 \, \cos\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{5}} - \frac{120 \, \sin\left(x\right)}{{\left(x + 1\right)}^{6}}$

h(6)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1541}{16807} \, \cos\left(6\right) - \frac{9185}{117649} \, \sin\left(6\right)$

h(6.)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0.109850387449571$

... ili:

N (h(6))

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0.109850387449571$

... ali:

n (h(6))

__main__:3: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and
unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of
Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...)
See http://trac.sagemath.org/5930 for details.

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1541}{16807} \, \cos\left(6\right) - \frac{9185}{117649} \, \sin\left(6\right)$

__main__:3: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...)
See http://trac.sagemath.org/5930 for details.

u prvom smo zadatku uveli varijablu n koja je „sakrila” funkciju n(); izvorno značenje „skrivenih” naziva možemo vratiti funkcijom reset():

reset ('n')

n (h(6))

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0.109850387449571$

5. zadatak

(Primjena u kinematici) Točka se giba po pravcu brzinom $v(t) = t^2 + \sqrt{t}$ . Koliko je ubrzanje te točke u trenutku $t_0 = 1,\!5$ ?

Uputa: ubrzanje u trenutku $t_0$ jednako je vrijednosti derivacije brzine za $t = t_0$ .

var ('t')
v(t) = t^2 + sqrt(t)
a(t) = derivative (v(t), t)
a(1.5)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3.40824829046386$

3. zadatak za zadaću

Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = 3x\sin\frac{x^2+1}{\sqrt{2+x^4}}$ . Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za $x_0=\mathrm{tg}\,3$ : prva ili druga?

4. zadatak za zadaću

Da li funkcija $f(x) = \sin(x) + \cos(2x) + \sin(3x)$ raste ili pada u točki $x_0 = 2,\!3$ ?

Uputa: funkcija $f(x)$ raste u točki $x_0$ ako je $f'(x_0) > 0$ , a pada ako je $f'(x_0) < 0$ .

5. zadatak za zadaću

Za funkciju $f(x) = x^4 - 10 x^2 + 9$ odredite područje u kojemu raste.

Uputa: funkcija $f(x)$ raste za one vrijednosti varijable $x$ za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom ) nejednadžbu $f'(x) > 0$ .

6. zadatak

Odredite lokalne ekstreme funkcije $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+8}{x-2}$ .

1. korak:

definirajte funkciju,
izračunajte njezinu prvu derivaciju,
pomoću funkcije solve() odredite nul–točke dobivene derivacije.

... dobit ćete apscise stacionarnih točaka.

f(x) = (x^2 + 8)/(x - 2)
df(x) = diff (f, x) 
df

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{2 \, x}{x - 2} - \frac{x^{2} + 8}{{\left(x - 2\right)}^{2}}$

stacx = solve (df(x) == 0, x)
show (stacx)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = -2 \, \sqrt{3} + 2, x = 2 \, \sqrt{3} + 2\right]$

x0 = N (stacx[0].right())
x1 = N (stacx[1].right())
x0; x1

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-1.46410161513775$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}5.46410161513775$

2. korak:

s pomoću druge derivacije odredite prirodu ekstrema: ako je druga derivacija u stacionarnoj točki veća od nule, funkcija ima minimum, a ako je manja od nule, maksimum.

ddf(x) = diff (f, x, 2)
ddf

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{2}{x - 2} - \frac{4 \, x}{{\left(x - 2\right)}^{2}} + \frac{2 \, {\left(x^{2} + 8\right)}}{{\left(x - 2\right)}^{3}}$

ddf (x0); ddf (x1)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-0.577350269189626$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0.577350269189626$

y0 = f (x0)
y1 = f (x1)
y0; y1

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-2.92820323027551$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}10.9282032302755$

Zaključak:

u točki $(-1,\!464\,10;\, -2,\!928\,20)$ funkcija ima maksimum,
u točki $(5,\!464\,10;\, 10,\!928\,2)$ funkcija ima minimum.

Za provjeru nacrtajte graf funkcije na segmentu $[-20, 20]$ ograničivši vrijednosti funkcije sa $-20 < y < 20$ . Slici dodajte prikaz ekstrema tako da točke nacrtate funkcijom point2d().

Upotreba funkcije point2d():

point2d ( (x-koord, y-koord), size = 10, opcije )

podrazumijevana vrijednost opcije size je 10, no može se zadati i druga veličina. Umjesto jednoga para koordinata, može se zadati više točaka kao lista parova koordinata.

p1 = plot (f(x), (x, -20, 20), ymin = -20, ymax = 20, detect_poles = 'show')
p2 = point2d ([(x0, y0), (x1, y1)], size = 20)
p1 + p2

7. zadatak

Funkciju $f(x) = \sin x$ aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$ , polinomom trećega stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$ ; graf aproksimacije nacrtajte crvenom bojom.

Uputa: upotrijebite Taylorov polinom.

f(x) = sin(x)
t(x) = taylor (f, x, 0, 3)
t

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ -\frac{1}{6} \, x^{3} + x$

p1 = plot (f(x), (x, -pi, pi) )
p2 = plot (t(x), (x, -pi, pi), color = 'red')
p1 + p2

6. zadatak za zadaću

Funkciju $f(x) = \sin x$ aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$ , polinomom sedmog stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$ ; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.

Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 7. zadataka i ocijenite utjecaj porasta stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.

8. zadatak

Za funkciju $\displaystyle f(x, y) = \frac{\sin\,x}{y+6}$ izračunajte

prve parcijalne derivacije po $x$ i $y$ (simbolički: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ i $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ ),
drugu derivaciju, oba puta po $x$ (simbolički: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ ), te izračunajte njezinu vrijednost u točki $(0, -3)$ ,
vrijednosti svih drugih parcijalnih derivacija u točki $(0, -3)$ . Uputa: upotrijebite Hesseovu matricu.

f(x,y) = sin(x)/(y+6)
f

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \frac{\sin\left(x\right)}{y + 6}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ :

diff (f, x)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \frac{\cos\left(x\right)}{y + 6}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ :

diff (f, y)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(x\right)}{{\left(y + 6\right)}^{2}}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ :

dfxx (x,y) = diff (f, x, 2)
dfxx

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(x\right)}{y + 6}$

... ili

dfxx (x,y) = diff (f, x, x)
dfxx

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(x\right)}{y + 6}$

dfxx (0, -3)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$

Hesseova matrica:

$H (f) = \left[\begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\[1.125ex] \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array} \right]$

h = f.hessian()
h

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(x\right)}{y + 6} & \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\cos\left(x\right)}{{\left(y + 6\right)}^{2}} \\ \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\cos\left(x\right)}{{\left(y + 6\right)}^{2}} & \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \frac{2 \, \sin\left(x\right)}{{\left(y + 6\right)}^{3}} \end{array}\right)$

h (0, -3)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 0 & -\frac{1}{9} \\ -\frac{1}{9} & 0 \end{array}\right)$

7. zadatak za zadaću

Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije $f(x,y) = \ln\,\dfrac{\cos y}{\cos x}$ .

Rješenje 1. zadatka za zadaću

Izračunajte limes funkcije $\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2+2x+\cos(x+1)}$ za $x \to -1$ .

limit (sin(x)/(x^2 + 2*x + cos(x+1)), x = -1)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\infty$

Rješenje 2. zadatka za zadaću

Definirajte funkciju $f\displaystyle (x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$ .
Odredite njezine kose asimptote za $x \to +\infty$ i za $x \to -\infty$ (dobit ćete dvije različite asimpote).
Nacrtajte graf funkcije $f$ i njegove asimptote nad segmentom $[-5, 9]$ ; upotrijebite različite boje. Neka jedinice na osima budu jednake.
Uklonite funkciju f.

f(x) = (x-1)^2/sqrt(x^2 + 1)
show (f)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{{\left(x - 1\right)}^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

k1 = limit (f(x)/x, x = oo)
k1

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1$

l1 = limit (f(x) - k1*x, x = oo)
l1

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-2$

k2 = limit (f(x)/x, x = -oo)
k2

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-1$

l2 = limit (f(x) - k2*x, x = -oo)
l2

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2$

... kose asimptote su: $y = x - 2$ i $y = -x + 2$

y1 (x) = k1*x + l1
y2 (x) = k2*x + l2

p1 = plot (f, (x, -5, 9))
p2 = plot (y1, (x, -5, 9), color='red');
p3 = plot (y2, (x, -5, 9), color='orange')
show (p1 + p2 + p3, ymin = -1.5, aspect_ratio = 1)

reset('f')

Rješenje 3. zadatka za zadaću

Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = 3x\sin\frac{x^2+1}{\sqrt{2+x^4}}$ . Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za $x_0=\mathrm{tg}\,3$ : prva ili druga?

f(x) = 3 * x * sin ((x^2 + 1)/sqrt(2+x^4))
x0 = tan(3)
df1(x) = derivative (f, x)
df2(x) = diff (f, x, 2)
bool (df1(x0) > df2(x0))

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\mathrm{True}$

Zaključak: veća je vrijednost prve derivacije:

N (df1(x0)); N (df2(x0))

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2.04536534549771$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-1.32706230766448$

Rješenje 4. zadatka za zadaću

Da li funkcija $f(x) = \sin(x) + \cos(2x) + \sin(3x)$ raste ili pada u točki $x_0 = 2,\!3$ ?

Uputa: funkcija $f(x)$ raste u točki $x_0$ ako je $f'(x_0) > 0$ , a pada ako je $f'(x_0) < 0$ .

f(x) = sin(x) + cos(2*x) + sin(3*x)
x0 = 2.3
df1(x) = derivative (f, x)
bool (df1(x0) <= 0)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\mathrm{False}$

Zaključak: funkcija raste.

Rješenje 5. zadatka za zadaću

Za funkciju $f(x) = x^4 - 10 x^2 + 9$ odredite područje u kojemu raste.

Uputa: funkcija $f(x)$ raste za one vrijednosti varijable $x$ za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom ) nejednadžbu $f'(x) > 0$ .

f(x) = x^4 - 10*x^2 + 9
df(x) = diff (f(x), x)
solve (df(x) > 0, x)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x > -\sqrt{5}, x < 0\right], \left[x > \sqrt{5}\right]\right]$

Funkcija raste za $x \in (-\sqrt{5}, 0) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

plot (f, -sqrt(5)-1.125, sqrt(5)+1.125)

Rješenje 6. zadatka za zadaću

Funkciju $f(x) = \sin x$ aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$ , polinomom sedmoga stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$ ; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.

Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 8. zadataka i ocijenite utjecaj stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.

f(x) = sin(x)
t(x) = taylor (f, x, 0, 7)
t

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ -\frac{1}{5040} \, x^{7} + \frac{1}{120} \, x^{5} - \frac{1}{6} \, x^{3} + x$

p1 = plot (f(x), (x, -pi, pi))
p2 = plot (t(x), (x, -pi, pi), color = 'orange')
p1 + p2

Crtež s grafom polinoma 3. stupnja (iz 8. zadatka):

t3(x) = taylor (f, x, 0, 3)
p3 = plot (t3(x), (x, -pi, pi), ymin = -1, ymax = 1, color = 'red')

p1 + p2 + p3

Rješenje 7. zadatka za zadaću

Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije $f(x,y) = \ln\,\dfrac{\cos y}{\cos x}$ .

var ('x y')
f(x,y) = ln (cos(y)/cos(x))

plot3d (f, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = 1)

Click on 3-D image to make it live. Right-click on live image for a control menu.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ :

dfx = diff (f, x)
dfx

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$

plot3d (dfx, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = 1)

$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ :

dfy = diff (f, y)
dfy

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(y\right)}{\cos\left(y\right)}$

plot3d (dfy, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = 1)

gradijent funkcije $f$ (vektor koji sadrži obje prve derivacije funkcije $f$ ):

$\nabla f = \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \;\: \dfrac{\partial f}{\partial y} \right]^\mathrm{T}$

f.gradient()

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \left(\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)},\,-\frac{\sin\left(y\right)}{\cos\left(y\right)}\right)$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ :

d2fx2 = diff (f, x, 2)
d2fx2

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \frac{\sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} + 1$

plot3d (d2fx2, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = (1, 1, 1/3))

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ :

d2fy2 = diff (f, y, 2)
d2fy2

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(y\right)^{2}}{\cos\left(y\right)^{2}} - 1$

plot3d (d2fy2, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = (1, 1, 1/3))

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$ :

d2fxy = diff (f, x, y)
d2fxy

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ 0$

plot3d (d2fxy, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = 1)

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ :

d2fyx = diff (f, y, x)
d2fyx

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ 0$

plot3d (d2fyx, (x, -3*pi/7, 3*pi/7), (y, -3*pi/7, 3*pi/7), aspect_ratio = 1)

Hesseova matrica funkcije $f$ (matrica koja sadrži sve četiri druge derivacije funkcije $f$ ):

f.hessian()

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \frac{\sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} + 1 & \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ 0 \\ \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ 0 & \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ -\frac{\sin\left(y\right)^{2}}{\cos\left(y\right)^{2}} - 1 \end{array}\right)$

MPZI_vj07_s_izradom

2462 days ago by fresl