MPZI_vj06_s_izradom

Jednadžbe, sustavi jednadžbi i nejednadžbe

Rješenja jednadžbi koje su zadane simboličkim izrazima u obliku polinoma

1. zadatak

Definirajte funkciju  $f(x)=x^4-\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{26}{9}x^2 + 2x - \dfrac{1}{3}$  i riješite jednadžbu  $f(x) = 0$.  Izdvojite prvo rješenje pa odredite decimalni prikaz tog rješenja na 20 znamenaka.  Izračunavanjem vrijednosti funkcije $f$ u prvom rješenju provjerite da je dobiveni rezultat zaista rješenje.

Prvo rješenje je

njegova je numerička vrijednost

... ili

Decimalni je prikaz rješenja

... ili

Provjera da je dobiveni rezultat zaista rješenje:

Numerička provjera:

— dobivena je vrijednost dovoljno mala da je možemo zanemariti i smatrati jednakom nuli.

2. zadatak

Odredite rješenje iste jednadžbe kao u prvom zadatku, ali odredite i „kratnost” rješenja.

• u točki $\bigg(\dfrac{1}{3}, 0\bigg)$ graf funkcije $f$ dira os $x$, pa je to dvostruka nul–točka.

1. zadatak za zadaću

Definirajte funkciju  $f(x) = x^3- x^2 - 6$  i nađite njezine nul–točke. Ispišite numeričku vrijednost posljednje nul–točke, pridružite je varijabli $\mathtt{x1}$ i provjerite, izračunavanjem $f(\mathtt{x1})$, da je $\mathtt{x1}$ nul–točka.

(Rješenje se nalazi pri dnu radnog lista.)

Nul–točke polinoma

3. zadatak

Definirajte funkciju  $f(x) = 2x^9- 3x^7+ x^2 - 3x - 4$  pa pokušajte, pomoću funkcije solve(), riješiti jednadžbu $f(x) = 0$.

Primjenom funkcije .polynomial() uvedite polinom nad realnim brojevima zadan funkcijom $f$ i nazovite ga $\mathtt{polr}$. Odredite realne nul–točke polinoma $\mathtt{polr}$, izdvojite prvo rješenje te provjerite je li dobiveni rezultat nul–točka zadanoga polinoma.

Ponovnom primjenom funkcije .polynomial() uvedite polinom nad kompleksnim brojevima zadan istom funkcijom; nazovite ga $\mathtt{polc}$. Odredite sve nul–točke polinoma $\mathtt{polc}$, izdvojite prvo rješenje koje nije realno te provjerite je li dobiveni rezultat nul–točka zadanoga polinoma.

Funkcija solve() ne daje rješenje.

Transformacija funkcije u polinom nad skupom realnih brojeva i traženje realnih nul–točaka:

Prvo rješenje:

Transformacija funkcije u polinom nad skupom kompleksnih brojeva i traženje svih nul–točaka:

Prvo kompleksno rješenje:

2. zadatak za zadaću

Neka je  $f(x) = x^6 -2x^2 +x - 1$.  Pokušajte, pomoću funkcije solve(), riješiti jednadžbu $f(x) = 0$.

Pretvorite $f$ u polinom nad skupom realnih brojeva i odredite mu realne nul–točke. Izdvojite zadnje realno rješenje pa provjerite da je to zaista nul–točka.

Pretvorite $f$ u polinom nad skupom kompleksnih brojeva i odredite mu sve nul–točke. Izdvojite zadnje rješenje koje nije realno pa provjerite da je to zaista nul–točka.

Numeričko (približno) rješavanje jedne jednadžbe s jednom nepoznanicom

4. zadatak

Numerički odredite negativnu nul–točku funkcije $f(x)=\sin(x)-x^3$.  Za određivanje intervala u kojemu leži tražena nul–točka nacrtajte graf na intervalu $(-2, 2)$, a zatim se „približite” negativnoj nul–točki.

Provjerite da je dobiveni broj zaista rješenje.

Za vježbu odredite pozitivnu nul–točku funkcije (rezultat: $x_0 \approx 0,\!928\,626$).

Rješenje vježbe:

5. zadatak

Jednadžba $\displaystyle \sqrt{x^2+1} - \mathrm{tg}\,x = 0$ ima beskonačno mnogo rješenja. Da biste predočili tu činjenicu nacrtajte graf funkcije $f(x)$ za $-10\le x\le 10$; za bolji prikaz slike upotrijebite opcije ymin = -2 , ymax = 2 te detect_poles = 'show'.

Numerički odredite najmanje pozitivno rješenje jednadžbe $\displaystyle \sqrt{x^2+1} - \mathrm{tg}\,x = 0$. Za određivanje „maloga” intervala u kojemu se nalazi rješenje nacrtajte graf za $x\in[0, 1]$.

Provjerite da je dobiveni rezultat zaista rješenje.

Za vježbu nađite sljedeće po veličini rješenje. Uputa: nacrtajte graf za $x \in [4; 4,\!6]$ (rezultat: $x_0 \approx 4,\!498\,711\,86$).

Rješenje vježbe:

3. zadatak za zadaću

Numerički odredite nul–točku funkcije $f(x) = x^2 - 2 + \mathrm{ln}\,x$.

Uputa: nacrtajte graf za $x\in[0, 2]$.

Sustavi linearnih jednadžbi

6. zadatak

Riješite sustav

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $x + y + 2z = 2$

Koliko iznosi brojčana vrijednost komponente $y$ dobivenoga rješenja?

Koliko ste rješenja dobili?

Dobili smo jedno rješenje (ili: rješenje je jedinstveno).

7. zadatak

Riješite sustav

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $3x + 3y + 2z = 2$

(Promjena u odnosu na prethodni zadatak je samo u koeficijentima uz x i y u trećoj jednadžbi.)

Koliko ste rješenja dobili?

Nismo dobili ni jedno rješenje (ili: sustav nema rješenja).

8. zadatak

Riješite sustav

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $3x + 3y + 2z = 7$

(U odnosu na prethodni zadatak, promijenjena je samo desna strana zadnje jednadžbe.)

Koliko ste rješenja dobili?

Dobili smo beskonačno mnogo rješenja; varijabla $z$ može imati bilo koju (realnu) vrijednost, a vrijednosti $x$ i $y$ ovise o vrijednosti varijable $z$.

9. zadatak

Sustav (iz zadatka 6.)

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $x + y + 2z = 2$

riješite prevođenjem u matrični oblik. Uzmite da su komponente matrice $\mathbf{A}$ i vektora $\mathbf{b}$ racionalni brojevi.

... ili

4. zadatak za zadaću

Riješite sustav

    $-x + 2y +3z \,=\, 8$

    $3x - y - z \,=\, -3$

    $3x -3 y + 2 z \,=\,1$.

Koliko iznosi numerička vrijednost varijable $z$ u rješenju? Koliko smo rješenja dobili?

Ako je rješenje jedinstveno, riješite sustav prevođenjem u matrični oblik (s komponentama u skupu $\mathbb{Q}$).

Nejednadžbe

10. zadatak

Odredite na kojem je podskupu realnih brojeva  $x^2-1$  veće od  $x^3-1$,  a na kojem je veće ili jednako?

11. zadatak

Odredite domenu funkcije  $\displaystyle f(x)=\ln \frac{x-2}{x^2-9}$.

Uputa: logaritam je definiran na skupu pozitivnih brojeva, pa mora vrijediti  $\displaystyle \frac{x-2}{x^2-9} > 0$.  Uz to, mora biti  $x^2-9 \ne 0$.

— funkcija $f$ definirana je na skupu  $(-3, 2) \cup (3, \infty)$.

12. zadatak

Odredite domenu funkcije $\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{\ln\, (2x-1)}$.

Postupak:

1. da bi drugi korijen bio definiran treba veličina pod korijenom biti nenegativna tj. treba vrijediti $1 - x^2 \geq 0$,
2. da bi logaritam bio definiran njegov argument mora biti strogo pozitivan, tj. treba biti $2x - 1 > 0$,
3. da bi razlomak bio definiran nužno je da je nazivnik različit od 0, što znači da iz skupa dobivenoga iz prva dva uvjeta treba izbaciti rješenje jednadžbe $\ln\,(2x-1) =  0$.

— domena funkcije $f$ je  $(\frac{1}{2}, 1)$.

5. zadatak za zadaću

Odredite na kojemu podskupu skupa $\mathbb{R}$ funkcija  $f : x \mapsto 4\,x^3 - 8\,x^2 - 4\,x + 8$  poprima manje vrijednosti od funkcije  $g : x \mapsto \dfrac{1}{x}$.

Rješenje 1. zadatka za zadaću

Definirajte funkciju  $f(x) = x^3- x^2 - 6$  i nađite njezine nul–točke. Ispišite numeričku vrijednost posljednje nul–točke, pridružite je varijabli $\mathtt{x1}$ i provjerite, izračunavanjem $f(\mathtt{x1})$, da je $\mathtt{x1}$ nul–točka.

Ne zaboravite, početna vrijednost indeksa je 0!

... ili

Rješenje 2. zadatka za zadaću

Neka je  $f(x) = x^6 -2x^2 +x - 1$.  Pokušajte, pomoću funkcije solve(), riješiti jednadžbu $f(x) = 0$.

Pretvorite $f$ u polinom nad skupom realnih brojeva i odredite mu realne nul–točke. Izdvojite zadnje realno rješenje pa provjerite da je to zaista nul–točka.

Pretvorite $f$ u polinom nad skupom kompleksnih brojeva i odredite mu sve nul–točke. Izdvojite zadnje rješenje koje nije realno pa provjerite da je to zaista nul–točka.

Definicija simboličkog izraza i pokušaj primjene funkcije solve():

Jednadžba nije riješena.

Pretvaranje izraza u polinom nad $\mathbb{R}$ i traženje realnih nul–točaka:

Pretvaranje izraza u polinom nad $\mathbb{C}$ i traženje svih nul–točaka:

3. zadatak za zadaću

Numerički odredite nul–točku funkcije $f(x) = x^2 - 2 + \mathrm{ln}\,x$.

Uputa: nacrtajte graf za $x\in[0, 2]$.

Rješenje 4. zadatka za zadaću

Riješite sustav

    $-x + 2y +3z \,=\, 8$

    $3x - y - z \,=\, -3$

    $3x -3 y + 2 z \,=\,1$.

Koliko iznosi numerička vrijednost varijable $z$ u rješenju? Koliko smo rješenja dobili?

Ako je rješenje jedinstveno, riješite sustav prevođenjem u matrični oblik (s komponentama u skupu $\mathbb{Q}$).

Dobili smo jedno rješenje, to jest, rješenje je jedinstveno.

Provjera (aritmetika je racionalna, a ne „realna”, pa smijemo ispitati jednakost):

Rješenje 5. zadatka za zadaću

Odredite na kojemu podskupu skupa $\mathbb{R}$ funkcija  $f : x \mapsto 4\,x^3 - 8\,x^2 - 4\,x + 8$  poprima manje vrijednosti od funkcije  $g : x \mapsto \dfrac{1}{x}$.

Traženi je skup  $(-\infty; -1,\!038\,841\,807\,909\,604) \cup (0; 0,\!136\,728\,733\,114\,275\,3) \cup (0,\!863\,271\,266\,885\,724\,8; 2,\!038\,841\,807\,909\,605)$;  rubovi intervalâ (osim $0$ i $-\infty$) približne su — pseudorealne — vrijednosti.