MPZI_vj03_s_izradom

Crtanje krivulja 

Crtanje parametarski zadanih krivulja u ravnini

1. zadatak

Nacrtajte krivulju zadanu parametarskim jednadžbama

     $\displaystyle x(t) = \cos t - \frac{\sin^2 t}{\sqrt{2}}$,      $y(t) = \sin t \cdot \cos t$,     $t \in [0,\,2\pi]$.

Krivulju podebljajte 4 puta primjenom opcije thickness.

2. zadatak

Parametarske jednadžbe astroide su  $x(t)=a\,\cos^3 t$,  $y(t)=a\,\sin^3 t$,  $t\in[0,\, 2\pi]$,  dok su parametarske jednadžbe kružnice polumjera $r$, sa središtem u ishodištu,  $x(t) = r\,\cos t$,  $y(t) = r\,\sin t$,  $t\in[0,\, 2\pi]$. 

Na jednoj slici nacrtajte jediničnu kružnicu i dvije astroide određene parametrima $a=1$ i $a=2$.  Kružnicu obojite crvenom, a astroide zelenom bojom.

... ili

1. zadatak za zadaću

Parametarske jednadžbe desne grane hiperbole  $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1$  zadane su hiperbolnim funkcijama  $x(t) = a\,\mathrm{ch}\,t$,  $y(t) = b\,\mathrm{sh}\,t$,  $t \in \mathbb{R}$.  Lijeva je pak grana zadana jednadžbama  $x(t) = -a\,\mathrm{ch}\,t$,  $y(t) = b\,\mathrm{sh}\,t$.

Na odvojenim crtežima nacrtajte lijevu i desnu granu hiperole čija je jednadžba  $4\,x^2 - y^2 = 1$  ako je  $-2 < t < 2$,  pa oba crteža prikažite zajedno.  Opcijom aspect_ratio postavite omjer jedinica na osima $x$ i $y$ kao $2:1$.

2. zadatak za zadaću

Parametarske jednadžbe cikloide su  $x(t) = a\,(t-\sin t)$,  $y(t) = a\,(1 - \cos t)$,  $t \in \mathbb{R}$.

Nacrtajte cikloidu za $a = 2$ ako je  $-8 < t < 20$.

Interaktivno crtanje

Dio ćelije koja sadrži interaktivni način rada počinje s

@interact
definicija funkcije s imenom po volji...

Argumenti te funkcije zadaju kontrole interakcije, a „tijelom” je funkcije određeno ono što želimo prikazati.

Ilustrirat ćemo sljedeće kontrole:

u = input_box (default = None, label = None, type = None) — polje za unos podatka

primjer:  u = input_box (default = 0., label = 'a')

u = slider (umin, umax = None, step_size = 1, default = None, label = None) — klizač 

primjer:  u = slider (0.5, 4, step_size = 0.5, default = 3.5)

u = selector (values, default = None, label = None, nrows = None, ncols = None, buttons = False) — padajući izbornik ili dugmad

primjeri:

u = selector (['tachyon', 'jmol'])

u = selector ([4, 2, 1], label = 'Omjer jedinica na osima')

3. zadatak

Nacrtajte krivulju iz 1. zadatka tako da interaktivno birate omjer duljina jedinica na osima (aspect_ratio).  Upotrijebite izbornik (selector) za zadavanje omjera duljina jedinica.  Neka moguće vrijednosti budu 3, 2, 1, 1/2, 1/3, neka je podrazumijevana vrijednost 1 i neka je oznaka 'Omjer jedinica na osima'.

4. zadatak

Nacrtajte graf funkcije  $f(x)=\sin\,(x\,(1+a\cdot x))$  za  $x \in [-2\pi, 2\pi]$  tako da parametar $a$ možete interaktivno mijenjati od 0 do 2.

Upotrijebite klizač (slider) za zadavanje parametra $a$ tako da je korak promjene 0,2, a podrazumijevana vrijednost parametra 1. Neka je oznaka klizača 'Parametar a'. Veličina slike (figsize) neka je 5.

5. zadatak

Kao i u prethodnom zadatku,  nacrtajte graf funkcije  $f(x)=\sin\,(x\,(1+a\cdot x))$  za  $x \in [-2\pi, 2\pi]$  tako da parametar $a$ interaktivno mijenjamo, ali sada upotrijebite upisno polje (input_box) za zadavanje parametra $a$. Podrazumijevana vrijednost parametra neka je 0, a oznaka samo 'a'.

3. zadatak za zadaću

Parametarske jednadžbe elipse zadane jednadžbom  $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$  su

       $x(t) = a\,\cos t$,   $y(t)=b\,\sin t$,   $t\in[0, 2\pi]$.

Zadajte interaktivno crtanje dijela elipse kojoj su poluosi $a=3$ i $b=2$ pri čemu je  $t\in[0, t_{\mathrm{max}}]$  uz  $t_{\mathrm{max}} \in[0,\!01;\, 2\,\pi]$.  U funkciji plot() upotrijebite opcije xmin = -3.1, xmax = 3.1, ymin = -2.1, ymax = 2.1.

Za zadavanje parametra $t_{\mathrm{max}}$ upotrijebite klizač tako da je podrazumijevana vrijednost $0,\!61$, korak promjene $0,\!3$,  a oznaka 'MaksT'.  (Početna je vrijednost parametra $t_{\mathrm{max}}$  $0,\!01$,  pa je podrazumijevana vrijednost  $0,\!61 = 0,\!01 + 2\cdot 0,\!3$.)

4. zadatak za zadaću

Isto kao i u 3. zadatku za zadaću, samo upotrijebite polje za upis broja za zadavanje parametra $t_{\mathrm{max}}$.

Crtanje krivulja zadanih implicitnom jednadžbom

6. zadatak

Krivulja je zadana jednadžbom  $y^2 = a\,(x^4-x^6)$  za  $(x,\, y) \in [-1, \, 1]^2$.
Na istoj slici nacrtajte dvije takve krivulje (za $a=1$ i $a=4$) i obojite ih redom crvenom i zelenom bojom. Broj točaka za crtanje opcijom plot_points postavite na 400 (podrazumijevani je broj 150).

5. zadatak za zadaću

Nacrtajte krivulju koja je zadana implicitnom jednadžbom  $x^4-2\,x^2 y+2\,y^3=0$  za  $(x,y) \in [-1, 1]^2$.  Pri crtanju povećajte broj točaka na 600.  Nemojte nacrtati okvir slike (opcija  frame = False).

Crtanje krivulja u prostoru koje su zadane parametarskim jednadžbama

7. zadatak

Nacrtajte krivulju u prostoru zadanu parametarskim jednadžbama

       $\begin{align} x(t) &= \cos t - 2\cos 3t, \\ y(t) &= \sin t - 2\sin 3t, \\ z(t) &= 8\sin 2t, \end{align}$

ako je $0 < t < 3\pi$. Krivulja neka bude zelena i 6 puta deblja od podrazumijevane debljine.

8. zadatak

Na istoj slici nacrtajte dvije prostorne krivulje zadane parametarskim jednadžbama. Prva krivulja je

        $\begin{align}  x(t) & = (1+0,\!2\cos 40 t)\cos t, \\ y(t) &= (1+0,\!2\cos 40 t)\sin t, \\ z(t) &= 2t+\sin 40t, \end{align}$

a druga

        $\begin{align} x(t) &= \cos t, \\ y(t) &= \sin t, \\  z(t) & = 2t. \end{align}$

Neka je $t \in [0,\, 6\pi]$. Debljinu obje krivulje, opcijom thickness, povećajte četvorostruko. Za prvu krivulju povećajte broj upotrijebljenih točaka, opcijom plot_points, na 800 (podrazumijevani broj točaka, za krivulje, je 75), a drugu krivulju nacrtajte crveno.

6. zadatak za zadaću

Nacrtajte prostornu krivulju zadanu parametarskim jednadžbma

        $\begin{align} x(t) &= (2-t)\cos 15t, \\ y(t) &= (2-t)\sin 15t, \\ z(t) &= t \end{align}$

za $-4 < t < 8$. Boja krivulje neka bude smeđa i neka je krivulja četiri puta deblja od podrazumijevane debljine. Broj točaka, opcijom plot_points, povećajte s podrazumijevanih 75 na 500.

Rješenje 1. zadatka za zadaću

Parametarske jednadžbe desne grane hiperbole  $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1$  zadane su hiperbolnim funkcijama  $x(t) = a\,\mathrm{ch}\,t$,  $y(t) = b\,\mathrm{sh}\,t$,  $t \in \mathbb{R}$.  Lijeva je pak grana zadana jednadžbama  $x(t) = -a\,\mathrm{ch}\,t$,  $y(t) = b\,\mathrm{sh}\,t$.

Na odvojenim crtežima nacrtajte lijevu i desnu granu hiperole čija je jednadžba  $4\,x^2 - y^2 = 1$  ako je  $-2 < t < 2$,  pa oba crteža prikažite zajedno.  Opcijom aspect_ratio postavite omjer jedinica na osima $x$ i $y$ kao $2:1$.

Rješenje 2. zadatka za zadaću

Parametarske jednadžbe cikloide su  $x(t) = a\,(t-\sin t)$,  $y(t) = a\,(1 - \cos t)$,  $t \in \mathbb{R}$.

Nacrtajte cikloidu za $a = 2$ ako je  $-8 < t < 20$.

Rješenje 3. zadatka za zadaću

Parametarske jednadžbe elipse zadane jednadžbom  $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$  su

       $x(t) = a\,\cos t$,   $y(t)=b\,\sin t$,   $t\in[0, 2\pi]$.

Zadajte interaktivno crtanje dijela elipse kojoj su poluosi $a=3$ i $b=2$ pri čemu je  $t\in[0, t_{\mathrm{max}}]$,  dok je $t_{\mathrm{max}} \in[0,\!01;\, 2\,\pi]$. U funkciji plot() upotrijebite opcije xmin = -3.1, xmax = 3.1, ymin = -2.1, ymax = 2.1.

Za zadavanje parametra $t_{\mathrm{max}}$ upotrijebite klizač tako da je podrazumijevana vrijednost $0,\!61$, korak promjene $0,\!3$,  a oznaka 'MaksT'.  (Početna je vrijednost parametra $t_{\mathrm{max}}$  $0,\!01$,  pa je podrazumijevana vrijednost  $0,\!61 = 0,\!01 + 2\cdot 0,\!3$.)

Rješenje 4. zadatka za zadaću

Isto kao i u 3. zadatku za zadaću, samo upotrijebite polje za upis broja za zadavanje parametra $t_{\mathrm{max}}$.

Rješenje 5. zadatka za zadaću

Nacrtajte krivulju koja je zadana implicitnom jednadžbom  $x^4-2\,x^2 y+2\,y^3=0$  za  $(x,y) \in [-1, 1]^2$.  Pri crtanju povećajte broj točaka na 600.  Nemojte nacrtati okvir slike (opcija  frame = False).

Rješenje 6. zadatka za zadaću

Nacrtajte prostornu krivulju zadanu parametarskim jednadžbma

        $\begin{align} x(t) &= (2-t)\cos 15t, \\ y(t) &= (2-t)\sin 15t, \\ z(t) &= t \end{align}$

za $-4 < t < 8$. Boja krivulje neka bude smeđa i neka je krivulja četiri puta deblja od podrazumijevane debljine. Broj točaka, opcijom plot_points, povećajte s podrazumijevanih 75 na 500.