Loading [MathJax]/extensions/TeX/newcommand.js

MPZI_vj01_s_izradom

2469 days ago by fresl

Aritmetičke operacije i matematičke funkcije

 

Aritmetičke operacije

  • Zbrajanje:        +
  • Oduzimanje :   –
  • Množenje:        *
  • Dijeljenje:        /
  • Potenciranje:    ^  ili  **


1. zadatak

Izračunajte

  •  2100
  •  2,45,10,45
       
1267650600228229401496703205376
1267650600228229401496703205376

ili

       
1267650600228229401496703205376
1267650600228229401496703205376
       
-8.93333333333333
-8.93333333333333


2. zadatak

Izračunajte

  •  3,452
  •  91,75+2,45,10,45
       
21.3155867852612
21.3155867852612
       
85.7500000000000
85.7500000000000


Za promjenu prioriteta aritmetičkih operacija upotrebljavaju se, isključivo, okrugle zagrade ().

Uglate [] i vitičaste {} zagrade imaju potpuno druga značenja.


3. zadatak

Izračunajte {[(2,31,22)3/23,2]4+1}3

       
40404.1915640218
40404.1915640218


1. zadaci za vježbu

Izračunajte

  •  8,323,65,72,4
  •  12,52,71,85,2+1,4(3,22,8+9,2)
  •  5,34,5+1,222,9

(Rješenja možete naći pri dnu radnog lista.)

       

 

Prikaz broja u decimalnom obliku s različitim brojem značajnih znamenaka


Značajnim znamenkama broja  x0  u decimalnom zapisu nazivaju se prva znamenka slijeva različita od nule i sve znamenke desno od nje do kraja zapisa;  primjerice,  12,340  i  0,0012340  imaju jednaki broj značajnih znamenaka: 5.  (Za  x=0  sve su znamenke u zapisu značajne, pa je u 0 i 0,000 njihov broj različit.)


4. zadatak

Prikažite broj 137 u decimalnom obliku pomoću 50 značajnih znamenaka, a zatim pomoću 5 znamenaka.

       
1.8571428571428571428571428571428571428571428571429
1.8571428571428571428571428571428571428571428571429
       
1.8571
1.8571

ili, na drugi način:

       
1.8571
1.8571

ili, na još jedan način (tzv. objektno orijentirani):

       
1.8571
1.8571


5. zadatak

Prikažite broj 13,07 u decimalnom obliku pomoću 50 značajnih znamenaka.

       
Traceback (click to the left of this block for traceback)
...
TypeError: cannot approximate to a precision of 170 bits, use at most 53 bits
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_9.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("TiAoMTMuLzcsIGRpZ2l0cyA9IDUwKQ=="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/tmp/tmpYzsg9d/___code___.py", line 3, in <module>
    exec compile(u'N (_sage_const_13p /_sage_const_7 , digits = _sage_const_50 )
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/opt/SageMath/local/lib/python2.7/site-packages/sage/misc/functional.py", line 1417, in numerical_approx
    return n(prec, algorithm=algorithm)
  File "sage/structure/element.pyx", line 861, in sage.structure.element.Element.numerical_approx (build/cythonized/sage/structure/element.c:7999)
  File "sage/arith/numerical_approx.pyx", line 65, in sage.arith.numerical_approx.numerical_approx_generic (build/cythonized/sage/arith/numerical_approx.c:2775)
TypeError: cannot approximate to a precision of 170 bits, use at most 53 bits

Dobiveni ispis traži objašnjenje:

Većina se realnih brojeva u računalu ne može prikazati točno, jer njihov zapis ima bezbrojno mnogo znamenaka. Moguć je samo približan prikaz, s konačnim brojem značajnih znamenaka, pa ćemo umjesto o realnima govoriti o „realnim” ili o pseudorealnim brojevima. 

Standardan je prikaz sa 15 značajnih dekadskih znamenaka koje se zapisuju pomoću 53 binarne znamenke (53 bita). Razlomak 137 ima u decimalnom zapisu bezbrojno mnogo znamenaka. Napišemo li 13./7, računalo će od bezbrojno mnogo binarnih znamenaka upamtiti samo prve 53, pa neće moći ispisati broj s točnošću od 50 značajnih dekadskih znamenaka, za što bi trebao znati 170 binarnih.  (Ako pak, kao u zadatku 4., napišemo 13/7, računalo će razlomak upamtiti kao par brojeva, 13 i 7, te pri pozivu funkcije N() približnu vrijednost izračunati s onoliko bitova koliko je potrebno za ispis traženoga broja značajnih dekadskih znamenaka.)


Ugrađene konstante


Osnovne konstante:

  •  e, E — konstanta e
  •  pi — konstanta π
  •  i, I — imaginarna jedinica


6. zadatak

Izračunajte  e23  pa rezultat prikažite pomoću 20 značajnih dekadskih znamenaka.

(Znak _ (podvlaka, underline) označava zadnji dobiveni rezultat.)

       
1/3*e^2
1/3*e^2
       
2.4630186996435500757
2.4630186996435500757


7. zadatak

Izračunajte  πeπ+e  pa rezultat prikažite u decimalnom obliku, pomoću 39 značajnih znamenaka.

       
(pi - e)/(pi + e)
(pi - e)/(pi + e)
       
0.0722388894894455464530934693075551720627
0.0722388894894455464530934693075551720627

Obratite pozornost na prioritet operacija:

       
True
True


Osnovne matematičke funkcije

 

  1.  sqrt(x) —  drugi korijen: x
  2.  exp(x), e^x, e**x  —  eksponencijalna funkcija s bazom e: ex,
  3.  log(x), ln(x)  —  logaritam s bazom e: lnx
  4.  log(x, b)  —   logaritam s bazom b: logbx,
  5.  sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)  —  trigonometrijske funkcije s argumentom u radijanima,
  6.  arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)  ili  asin(x), acos(x), atan(x), acot(x)  —  inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama (rezultat u radijanima),
  7.  sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)  —   hiperbolne funkcije,
  8.  asinh(x), acosh(x), atanh(x), acoth(x)  —   inverzne funkcije hiperbolnim funkcijama,
  9.  abs(x)  —  apsolutna vrijednost: |x|,
  10.  factorial(n)  —  faktorijela prirodnog broja n: n!  (0!=1),
  11.  binomial(m, n)  —  binomni koeficijent (mn)


8. zadatak

Izračunajte

  •  4
  •  sve druge korijene iz 3,7
  •  38
  •  sinπ3
  •  tgπ2
  •  sin22,5+cos22,5
  •  arcsin0,5;  pomnožite rezultat sa 180π da dobijete rezultat u stupnjevima i upotrijebite funkciju N() da dobijete decimalnu vrijednost

 

  • 4
       
2*I
2*I
  • svi drugi korijeni iz 3,7
       
[1.92353840616713, -1.92353840616713]
[1.92353840616713, -1.92353840616713]
  • 38
       
2
2
  • sinπ3
       
1/2*sqrt(3)
1/2*sqrt(3)
       
0.866025403784439
0.866025403784439
  • tgπ2
       
Infinity
Infinity
       

                                
                            

                                
  • \sin^2 2,\!5 + \cos^2 2,\!5
       
1.00000000000000
1.00000000000000
  • \mathrm{arcsin}\, 0,\!5
       
30.0000000000000
30.0000000000000

ili

       
30.0000000000000
30.0000000000000


2. zadaci za vježbu

Izračunajte približnu vrijednost izraza  \displaystyle \frac{e^3\sin\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}{\mathrm{ln}\, 5}  na 9 značajnih dekadskih znamenaka.

Izračunajte udaljenost točaka A(2,\!5;\: 3,\!8) i B(4,\!24;\:-1,\!53).  Ako ste zaboravili:  d(A,\,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}.

Izračunajte  \displaystyle \frac{\mathrm{arcsin}\;0,\!56 + \mathrm{log}_{10} 12,\!5}{e^{1,7}+\sqrt{4,\!9}}.

Izračunajte  \displaystyle \sqrt[\displaystyle 5]{125,\!9}+\mathrm{tg}\,(6!)  na 12 značajnih znamenaka.

       










Izrada zadataka za vježbu


1. zadaci za vježbu


  •  \displaystyle 8,\!3\times 2^{3,6}-\frac{5,\!7}{2,\!4}
       
98.2685800162904
98.2685800162904
  •  \displaystyle \frac{12,\!5-2,\!7^{1,8}}{5,\!2 + 1,\!4\times(3,\!2^{-2,8}+9,\!2)}
       
0.359734344015730
0.359734344015730
  •  \displaystyle 5,\!3^{\displaystyle \frac{4,\!5+1,\!2^2}{2,\!9}}
       
30.4450562775234
30.4450562775234



2. zadaci za vježbu

  • izračunajte približnu vrijednost izraza  \displaystyle \frac{e^3\sin\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}{\mathrm{ln}\, 5}  na 9 značajnih dekadskih znamenaka
       
8.82458357
8.82458357

         ili

       
8.82458357
8.82458357

         — napominjemo da je pisanje razmaka između pojedinih jedinica u izrazima pitanje „stila” i čitljivosti:

       
  •  izračunajte udaljenost točaka  A\,(2,\!5;\: 3,\!8)  i  B\,(4,\!24;\:-1,\!53)
       
5.60373090003437
5.60373090003437
  • izračunajte  \displaystyle \frac{\mathrm{arcsin}\;0,\!56 + \mathrm{log}_{10}\;12,\!5}{e^{1,7}+\sqrt{4,\!9}}
       
0.220004764483157
0.220004764483157
  • izračunajte \displaystyle \sqrt[\displaystyle 5]{125,\!9}+\mathrm{tg}\,(6!) na 12 značajnih znamenaka
       
3.27874562171
3.27874562171