MPZI_vj01_s_izradom

Aritmetičke operacije i matematičke funkcije

Aritmetičke operacije

• Zbrajanje:        +
• Oduzimanje :   –
• Množenje:        *
• Dijeljenje:        /
• Potenciranje:    ^  ili  **

1. zadatak

Izračunajte

•  $\displaystyle 2^{100}$
•  $\displaystyle 2,\!4 - \frac{5,\!1}{0,\!45}$

ili

2. zadatak

Izračunajte

•  $\displaystyle 3,\!4^{\textstyle\frac{5}{2} }$
•  $91,\!75 + \displaystyle \frac{2,\!4-5,\!1}{0,\!45}$

Za promjenu prioriteta aritmetičkih operacija upotrebljavaju se, isključivo, okrugle zagrade ().

Uglate [] i vitičaste {} zagrade imaju potpuno druga značenja.

3. zadatak

Izračunajte $\displaystyle \{[(2,\!3-1,\!2^2)^{3/2}-3,\!2]^4+1\}^3$

1. zadaci za vježbu

Izračunajte

•  $\displaystyle 8,\!3\cdot 2^{3,6}-\frac{5,\!7}{2,\!4}$
•  $\displaystyle \frac{12,\!5-2,\!7^{1,8}}{5,\!2 + 1,\!4\cdot(3,\!2^{-2,8}+9,\!2)}$
•  $\displaystyle 5,\!3^{\displaystyle \frac{4,\!5+1,\!2^2}{2,\!9}}$

(Rješenja možete naći pri dnu radnog lista.)

Prikaz broja u decimalnom obliku s različitim brojem značajnih znamenaka

Značajnim znamenkama broja  $x\ne 0$  u decimalnom zapisu nazivaju se prva znamenka slijeva različita od nule i sve znamenke desno od nje do kraja zapisa;  primjerice,  $12,\!340$  i  $0,\!001\,234\,0$  imaju jednaki broj značajnih znamenaka: 5.  (Za  $x = 0$  sve su znamenke u zapisu značajne, pa je u $0$ i $0,\!000$ njihov broj različit.)

4. zadatak

Prikažite broj $\displaystyle \frac{13}{7}$ u decimalnom obliku pomoću 50 značajnih znamenaka, a zatim pomoću 5 znamenaka.

ili, na drugi način:

ili, na još jedan način (tzv. objektno orijentirani):

5. zadatak

Prikažite broj $\displaystyle \frac{13,\!0}{7}$ u decimalnom obliku pomoću 50 značajnih znamenaka.

Dobiveni ispis traži objašnjenje:

Većina se realnih brojeva u računalu ne može prikazati točno, jer njihov zapis ima bezbrojno mnogo znamenaka. Moguć je samo približan prikaz, s konačnim brojem značajnih znamenaka, pa ćemo umjesto o realnima govoriti o „realnim” ili o pseudorealnim brojevima. 

Standardan je prikaz sa 15 značajnih dekadskih znamenaka koje se zapisuju pomoću 53 binarne znamenke (53 bita). Razlomak $\frac{13}{7}$ ima u decimalnom zapisu bezbrojno mnogo znamenaka. Napišemo li 13./7, računalo će od bezbrojno mnogo binarnih znamenaka upamtiti samo prve 53, pa neće moći ispisati broj s točnošću od 50 značajnih dekadskih znamenaka, za što bi trebao znati 170 binarnih.  (Ako pak, kao u zadatku 4., napišemo 13/7, računalo će razlomak upamtiti kao par brojeva, 13 i 7, te pri pozivu funkcije N() približnu vrijednost izračunati s onoliko bitova koliko je potrebno za ispis traženoga broja značajnih dekadskih znamenaka.)

Ugrađene konstante

Osnovne konstante:

•  e, E — konstanta $e$
•  pi — konstanta $\pi$
•  i, I — imaginarna jedinica

6. zadatak

Izračunajte  $\displaystyle \frac{e^2}{3}$  pa rezultat prikažite pomoću 20 značajnih dekadskih znamenaka.

(Znak _ (podvlaka, underline) označava zadnji dobiveni rezultat.)

7. zadatak

Izračunajte  $\displaystyle \frac{\pi-e}{\pi+e}$  pa rezultat prikažite u decimalnom obliku, pomoću 39 značajnih znamenaka.

Obratite pozornost na prioritet operacija:

Osnovne matematičke funkcije

1.  sqrt(x) —  drugi korijen: $\sqrt{x}$, 
2.  exp(x), e^x, e**x  —  eksponencijalna funkcija s bazom $e$: $e^x$,
3.  log(x), ln(x)  —  logaritam s bazom $e$: $\ln x$
4.  log(x, b)  —   logaritam s bazom $b$: $\log_{\,b} x$,
5.  sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)  —  trigonometrijske funkcije s argumentom u radijanima,
6.  arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)  ili  asin(x), acos(x), atan(x), acot(x)  —  inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama (rezultat u radijanima),
7.  sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x)  —   hiperbolne funkcije,
8.  asinh(x), acosh(x), atanh(x), acoth(x)  —   inverzne funkcije hiperbolnim funkcijama,
9.  abs(x)  —  apsolutna vrijednost: $|x|$,
10.  factorial(n)  —  faktorijela prirodnog broja $n$: $n!$  ($0!=1$),
11.  binomial(m, n)  —  binomni koeficijent $\displaystyle \binom{m}{n}$

8. zadatak

Izračunajte

•  $\sqrt{-4}$
•  sve druge korijene iz $3,\!7$
•  $\sqrt[\displaystyle 3]{8}$
•  $\displaystyle \sin{\frac{\pi}{3}}$
•  $\displaystyle \mathrm{tg}\frac{\pi}{2}$
•  $\sin^2 2,\!5 + \cos^2 2,\!5$
•  $\mathrm{arcsin}\, 0,\!5$;  pomnožite rezultat sa $\displaystyle \frac{180}{\pi}$ da dobijete rezultat u stupnjevima i upotrijebite funkciju N() da dobijete decimalnu vrijednost

• $\sqrt{-4}$

• svi drugi korijeni iz $3,\!7$

• $\sqrt[\displaystyle 3]{8}$

• $\displaystyle \sin{\frac{\pi}{3}}$

• $\displaystyle \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{2}$

• $\sin^2 2,\!5 + \cos^2 2,\!5$

• $\mathrm{arcsin}\, 0,\!5$

ili

2. zadaci za vježbu

Izračunajte približnu vrijednost izraza  $\displaystyle \frac{e^3\sin\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}{\mathrm{ln}\, 5}$  na 9 značajnih dekadskih znamenaka.

Izračunajte udaljenost točaka $A(2,\!5;\: 3,\!8)$ i $B(4,\!24;\:-1,\!53)$.  Ako ste zaboravili:  $d(A,\,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2}$.

Izračunajte  $\displaystyle \frac{\mathrm{arcsin}\;0,\!56 + \mathrm{log}_{10} 12,\!5}{e^{1,7}+\sqrt{4,\!9}}$.

Izračunajte  $\displaystyle \sqrt[\displaystyle 5]{125,\!9}+\mathrm{tg}\,(6!)$  na 12 značajnih znamenaka.

Izrada zadataka za vježbu

1. zadaci za vježbu

•  $\displaystyle 8,\!3\times 2^{3,6}-\frac{5,\!7}{2,\!4}$

•  $\displaystyle \frac{12,\!5-2,\!7^{1,8}}{5,\!2 + 1,\!4\times(3,\!2^{-2,8}+9,\!2)}$

•  $\displaystyle 5,\!3^{\displaystyle \frac{4,\!5+1,\!2^2}{2,\!9}}$

2. zadaci za vježbu

• izračunajte približnu vrijednost izraza  $\displaystyle \frac{e^3\sin\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}{\mathrm{ln}\, 5}$  na 9 značajnih dekadskih znamenaka

         ili

         — napominjemo da je pisanje razmaka između pojedinih jedinica u izrazima pitanje „stila” i čitljivosti:

•  izračunajte udaljenost točaka  $A\,(2,\!5;\: 3,\!8)$  i  $B\,(4,\!24;\:-1,\!53)$

• izračunajte  $\displaystyle \frac{\mathrm{arcsin}\;0,\!56 + \mathrm{log}_{10}\;12,\!5}{e^{1,7}+\sqrt{4,\!9}}$

• izračunajte $\displaystyle \sqrt[\displaystyle 5]{125,\!9}+\mathrm{tg}\,(6!)$ na 12 značajnih znamenaka