MPZI_predavanje_07

(Za „lijepi” ispis svih rezultata označite kvadratić kraj riječi Typeset.)

Elementi matematičke analize (1)

Prisjetite se (predavanje 2.) da se nove funkcije definiraju na sljedeći način:

    f(x) = izraz za definiciju

Primjerice:

Granične vrijednosti funkcija

Neformalno, za funkciju $f$ varijable $x$ kažemo da teži ili konvergira graničnoj vrijednosti ili limesu $L$ kada $x$ teži vrijednosti $c$ (koja može, ali ne mora pripadati domeni funkcije $f$), ako je uvijek, kad je $x$ „neizmjerno” blizu $c$, vrijednost $f(x)$ funkcije $f$ u $x$ „neizmjerno” blizu vrijednosti $L$. (Formalnu definiciju limesa naučit ćete u Matematici 1.)

        ... hmm ...

• ind — indefinite, neodređeno

Derivacije funkcija

Geometrijski, derivacija funkcije $f$  varijable $x$ u odabranoj točki $c$ njezine domene nagib je tangente na njezin graf u točki $\big(c, f(c)\big)$. Nagib tangente (kao i svakoga pravca) jednak je, po definiciji, tangensu kuta $\alpha$ koji zatvara s osi $x$. Za  $\alpha \in (0, \pi/2)$  je  $\mathrm{tg}\,\alpha > 0$  (slikovito rečeno, nagib je „prema gore”), pa kažemo da funkcija $f$ raste; veći nagib znači brži rast funkcije. Za  $\alpha \in (-\pi/2, 0)$  je  $\mathrm{tg}\,\alpha < 0$  (nagib je „prema dolje”), a funkcija pada; po apsolutnoj vrijednosti manji nagib znači sporiji pad funkcije.  (Formalnu definiciju derivacije funkcije naučit ćete u Matematici 1.)

Derivacije funkcije $f$ u svim točkama njezine domene, u kojima postoje, zajedno tvore novu funkciju $f\,'\!$.

Za zorni prikaz derivacije funkcije $f$ uveli smo (programsku) funkciju animate_tangents() koja crta tangente u nizu točaka uzduž njezina grafa (nacrtanog plavom bojom), a istodobno i graf derivacije funkcije (crvenom bojom). Ordinate točaka grafa derivacije vrijednosti su nagiba pripadnih tangenata.

Parametri funkcije animate_tangents() su:

• f — funkcija čiji graf i tangente crtamo,
• xmin, xmax — rubovi intervala na kojem crtamo funkciju,
• ymin, ymax — ordinate najniže i najviše točke crteža,
• delay — vrijeme između izmjenjivanja uzastopnih crteža u stotinkama sekunde (s podrazumijevanom vrijednošću 12 stotinki).

(Kôd koji slijedi (zasad) ne trebate razumjeti. Želite li funkciju animate_tangents() upotrijebiti u drugom radnom listu, sadržaj polja morate prekopirati u taj radni list. Upozoravamo da priprema crtežâ, prije početka animacije, traje dosta dugo.)

Prva derivacija

Tangentu grafa funkcije $f$ u točki  $\big(c, f(c)\big)$  određujemo na sljedeći način:

• u općoj jednadžbi pravca  $y = a\,x + b$  nagib $a$ jednak je, po definiciji derivacije, vrijednosti derivacije funkcije u točki $c$:  $a = f'(c)$,
• tangenta mora proći točkom $\big(c, f(c)\big)$, pa iz  $f(c) = f'(c)\,c + b$  dobivamo  $b = f(c) - f'(c)\,c$.

Slijedi da je funkcija $l$, graf koje je tražena tangenta, dana izrazom

     $l (x) \,=\, f'(c)\,x +f(c) - f'(c)\,c$,

ili

     $l (x) \,=\, f'(c)\,(x - c) \,+\, f(c)$.

Tangenta u točki  $\big(\!\!-\!3, f(-3)\big)$:

... nagib tangente  (koeficijent uz $x = x^1$ u funkcijskom izrazu za $l$)  jednak je derivaciji funkcije u $c$:

... tangenta prolazi točkom $\big(c, f(c)\big)$:

... a $b$ je

... numerička aprosimacija tangente u točki  $\big(\!\!-\!3, f(-3)\big)$:

... ops ... ali, kao što znamo, za „realne” brojeve $r_1$ i $r_2$, dobivene različitim nizovima algebarskih operacija, ne treba nikada ispitati jednakost  $r_1 = r_2$,  nego

       $|r_1 - r_2| < \tau_a$

ili

       $\dfrac{|r_1 - r_2|}{|r_1|} < \tau_r$   ili   $\dfrac{|r_1 - r_2|}{|r_2|} < \tau_r$, 

gdje su $\tau_a$ i $\tau_r$ odabrane točnosti, apsolutna i relativna (a odabir je točnosti jedno od tajnih umijeća numeričke analize):

Derivacija ne mora postojati u svim točkama funkcije:

Stacionarne točke

Ako je  $f'(c) = 0$  za neki $c$, onda je tangenta grafa funkcije $f$ u točki  $\big(c, f(c)\big)$  horizontalna:  $l(x) = f(c)$.  To znači da $f$ u $c$ ne raste niti pada.

U točki  $(-2,\, 4e^{-2})$  funkcija  $x\mapsto x^2\,e^x$  ima (lokalni) maksimum, a u točki  $(0, 0)$  (lokalni) minimum. 

No, točke  $\big(c, f(c)\big)$  za koje je  $f'(c) = 0$  ne moraju uvijek biti lokalni ekstremi funkcije:

Točka  $(0, 0)$ je točka infleksije (s horizontalnom tangentom) funkcije  $x\mapsto x^3$.  Vrsta stacionarne točke određuje se s pomoću druge derivacije (a katkad i viših derivacija); ponešto o tome na vježbama, a više (i strože) u Matematici 1.

Više derivacije

Druga derivacija funkcije $f$ derivacija je njezine prve derivacije.

Taylorov polinom

Taylorov teorem:

Ako je funkcija $f$  „dovoljno glatka” (to jest, ako ima neprekinute derivacije do reda $n+1$) na intervalu $(a, b)$, onda za po volji odabrani  $c\in (a, b)$  i za sve  $x\in (a, b)$  vrijedi

     $f(x) \:=\: f(c) \,+\, \dfrac{f'(c)}{1!}(x-c) \,+\, \dfrac{f''(c)}{2!}(x-c)^2 \,+\,\cdots\,+\, \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n \,+\, R_n(x)$.

Aproksimacija funkcije $f$ varijable $x$ u okolišu točke $c$ Taylorovim polinomom $n$-tog stupnja:

Funkcija animate_taylor() crta niz aproksimacija funkcije $f$ u okolišu točke $x_0$ Taylorovim polinomima od stupnja $0$ do stupnja $n$.  Parametri funkcije su:

• f — funkcija koju aproksimiramo,
• x0 — točka u okolišu koje aproksimiramo funkciju ($c$ u iskazu teorema),
• nn — stupanj najvišega Taylorovog polinoma,
• xmin, xmax, ymin, ymax, delay — kao u funkciji animate_tangents(); podrazumijevana vrijednost za delay je sada 120 stotinki. 

(Kôd kojim je definirana funkcija zasad ne morate razumjeti.)

Derivacije funkcija više varijabli

Neka je $f$ funkcija dviju varijabli $x$ i $y$. Ako se varijabla $y$ ne mijenja, može se uzeti da je $f(\cdot,y)$ funkcija jedne varijable, varijable $x$.  Njezina se derivacija, ako postoji, naziva parcijalnom derivacijom funkcije $\boldsymbol{f}$ po varijabli $\boldsymbol{x}$. Analogno, ako se $x$ ne mijenja, $f(x, \cdot)$ je funkcija varijable $y$, a njezina je derivacija parcijalna derivacija funkcije $\boldsymbol{f}$ po varijabli $\boldsymbol{y}$. Parcijalne se derivacije označavaju s

            $\dfrac{\partial f}{\partial x}$  i  $\dfrac{\partial f}{\partial y}$.

Gradijent funkcije $f$ je vektor čije su komponente njezine parcijalne derivacije po pojedinim varijablama: 

            $\nabla f = \left[\begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\[1.125ex]  \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{array}  \right]$

Parcijalna derivacija funkcije $f$ po varijabli $x$ može se derivirati po varijabli $x$, ali i po varijabli $y$: 

        $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$  i  $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$. 

Analogno, parcijalna derivacija po varijabli $y$ može se derivirati i po $y$ i po $x$:

        $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$  i  $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$.

Druge se parcijalne derivacije mogu svrstati u matricu koja se naziva Hesseovom matricom:

            $H (f) = \left[\begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\[1.125ex]  \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}  \end{array}  \right]$