MPZI_vj09_kolokvij_1_primjer_2

1. kolokvij iz predmeta Matematički programi za inženjere

Upišite ime i prezime:

Upišite JMBAG:

Upute:

Pri izradi kolokvija možete se služiti svojim bilješkama, radnim listovima predavanja i vježbi te on-line priručnicima Sage-a.

Brojevi u zagradama su bodovi koje donosi točno rješenje zadatka ili njegova dijela.

1. zadatak

Sustav linearnih jednadžbi

     $x - 2y = -1$,

     $-3x + 4y = 1$

prikažite u matričnom obliku  $\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}$,  s komponentama u skupu cijelih brojeva $\mathbb{Z}$. Riješite sustav. Za provjeru rješenja pomnožite matricu $\mathbf{A}$ i vektor $\mathbf{x}$ te ispitajte je li umnožak jednak vektoru $\mathbf{b}$. Poništite vrijednosti upotrijebljenih varijabli.

(5)  Definicije matrice i vektora:

(5)  Rješavanje sustava:

(5)  Provjera rješenja:

(5)  Poništavanje varijabli:

2. zadatak

Varijabli $\mathtt{ex1}$ pridružite izraz  $\sin (x - y/2)$.  Zamijenite $y$ sa $\pi$ i dobiveni izraz pridružite varijabli $\mathtt{ex2}$.  Izraz $\mathtt{ex2}$ potpuno pojednostavnite.

(5)  Izraz $\mathtt{ex1}$:

(5)  Zamjena:

(5)  Pojednostavnjenje:

3. zadatak

Definirajte funkciju  $f(x) = e^{-x} - x^3\sqrt{x-\frac{1}{2}}$.  Nacrtajte graf funkcije na segmentu $[0,\!6; 1,\!0]$.  S pomoću grafa odredite segment duljine 0,1 koji sadrži nul-točku $x_0$ pa je nađite numerički. 

(5)  Definicija funkcije:

(5)  Crtanje:

(10)  Numeričko rješavanje:

4. zadatak

Definirajte funkciju $f(x) = e^{x}\,\cos (x)\,\sin (x)$. Odredite njezinu prvu i treću derivaciju.

(5)  Definicija funkcije:

(5)  Prva derivacija:

(5)  Treća derivacija:

5. zadatak

Numerički izračunajte $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \big|\sin (2x)\,\cos (x/2)\big|\: dx$.  Što je drugi broj u rješenju koje Sage ispisuje?

(10)  Izračunavanje integrala:

(5)   Drugi broj je ...

6. zadatak

(10)  Nacrtajte kružnicu polumjera 2, sa središtem u točki $(1,1)$, kao graf implicitno zadane funkcije.

7. zadatak

(5)  Nacrtajte prostornu krivulju parametarski zadanu jednadžbama

       $x(t) = \cos t$,   $y(t) = \sin t$   i   $z = t$   za   $t \in [0, 7\pi]$.