MPZI_vj09_kolokvij_1_primjer_1

1. kolokvij iz predmeta Matematički programi za inženjere

Upišite ime i prezime:

Upišite JMBAG:

Upute:

Pri izradi kolokvija možete se služiti svojim bilješkama, radnim listovima predavanja i vježbi te on-line priručnicima Sage-a.

Brojevi u zagradama su bodovi koje donosi točno rješenje zadatka ili njegova dijela.

1. zadatak

Definirajte vektore

•   $\vec{a} = 2\vec{\imath} + 3\vec{\jmath} - 4\vec{k}$,
•   $\vec{b} = -2\vec{\imath} - 3\vec{\jmath} + 4\vec{k}$

te izračunajte njihov zbroj i skalarni umnožak te modul vektora $\vec{a}$. Poništite vrijednosti upotrijebljenih varijabli.

(5)  Definicije vektora:

(5)  Zbroj vektora:

(5)  Skalarni umnožak vektora:

(5)  Norma vektora $\vec{a}$:

(5)  Poništavanje varijabli:

2. zadatak

Definirajte funkciju $f(x, y) = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$. Definirajte funkciju $g(x,y)$ tako da u funkciji $f$ opće brojeva $a$ i $b$ zamijenite vrijednostima 4 i 3. Izračunajte vrijednost funkcije $g$ u točki $(3,4)$ s točnošću od 66 znamenaka.

(5)  Funkcija $f$:

(5)  Funkcija $g$:

(5)  Vrijednost funkcije $g$:

3. zadatak

Definirajte funkciju  $f(x) = 3x^4 - 15x^3 + 18x^2 + 12x - 24$. Odredite njezine korijene i njihove „strukosti”. Uvrštavanjem u funkciju provjerite jednostruko rješenje.

(5)  Definicija funkcije:

(10)  Korijeni i „strukosti”:

(5)  Provjera rješenja:

4. zadatak

Definirajte funkciju $f(x) = 2e^{-x} - x^2\sqrt{x+1}$ i nacrtajte njezin graf na $x\in [0, 2]$. Odredite prvu i drugu derivaciju funkcije $f$.

(5)  Definicija funkcije:

(5)  Prva derivacija:

(5)  Druga derivacija:

(5)  Graf:

5. zadatak

(10)  Izračunajte $\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi} \sin (2x)\,\cos (x/2)\, dx$.

6. zadatak

(5)  Nacrtajte ravninsku krivulju zadanu parametarskim jednadžbama  $x(t) = \sin (3\,t)$,  $y(t) = \cos (5\,t)$,  $t \in [0, 2\pi]$.

7. zadatak

(5)  Nacrtajte graf funkcije  $f(x, y) = \ln\,(\cos y/\!\cos x)$  za  $(x,\, y) \in [-0,\!5; 1,\!5]\times[-1, 1]$.