MPZI_vj07

Limesi i derivacije

Limesi nizova i funkcija

1. zadatak

Izračunajte limes niza čiji je opći član  $a_n = \displaystyle \frac{ 2^{n+1} + 3 ^{n+1} }{ 2^n + 3^n }$  kada $n$ teži prema beskonačnosti.

2. zadatak

Zadana je funkcija $\displaystyle f(x) = \frac{\sin(x)}{|x|}$ . 
Funkcija, očito, nije definirana u $ x=0$. Odredite njezin limes s lijeva i s desna kada $x$ teži prema $0$.

Za geometrijski prikaz rezultata nacrtajte graf funkcije f nad segmentom $[-5,5]$.

1. zadatak za zadaću

Izračunajte limes funkcije  $\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2+2x+\cos(x+1)}$  za $x \to -1$.

3. zadatak

1. Definirajte funkciju  $\displaystyle f(x) =\frac{ x^3}{x^2-1}$.
2. Odredite vertikalne asimptote te funkcije (vertikalne se asimptote mogu pojaviti u nul–točkama nazivnika).
3. Pokažite da graf funkcije ima jednu kosu asimptotu i odredite njezinu jednadžbu.  Uputa: Pravac  $y=kx+l$  je kosa asimptota ako je  $\displaystyle k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}$  i   $\displaystyle l = \lim_{x\to\infty} (f(x)-k\cdot x)$  ili  $\displaystyle k = \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x}$  i   $\displaystyle l = \lim_{x\to-\infty} (f(x)-k\cdot x)$;  parovi uvjeta mogu, ali ne moraju dati istu asimptotu.
4. Nacrtajte graf funkcije f i njegove asimptote nad segmentom $[-4,4]$.  Vrijednosti funkcije ograničite na segment $[-10, 10]$.  Neka je duljina jedinice na osi $y$ upola kraća od duljine jedinice na osi $x$. Kosu asimptotu nacrtajte crvenom bojom. Vertikalnu asimptotu dobivate opcijom detect_poles='show' funkcije plot().
5. Uklonite funkciju f.

• Određivanje vertikalnih asimptota:

• Određivanje kosih asimptota:

• Graf s asimptotama:

• Uklanjanje funkcije:

2. zadatak za zadaću

1. Definirajte funkciju  $f\displaystyle (x) = \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$.
2. Odredite njezine kose asimptote za $x \to +\infty$ i za $x \to -\infty$  (dobit ćete dvije različite asimpote).
3. Nacrtajte graf funkcije $f$  i njegove asimptote nad segmentom $[-5, 9]$; upotrijebite različite boje. Neka jedinice na osima budu jednake.
4. Uklonite funkciju f.

Derivacije funkcija

4. zadatak

Za funkciju  $\displaystyle g(x)=\frac{\sin(x)}{x+1}$  izračunajte

• prvu i treću derivaciju,
• numeričku vrijednost njezine pete derivacije za $x=6$.

5. zadatak

(Primjena u kinematici)  Točka se giba po pravcu brzinom  $v(t) = t^2 + \sqrt{t}$.  Koliko je ubrzanje te točke u trenutku $t_0 = 1,\!5$?

Uputa: ubrzanje u trenutku $t_0$ jednako je vrijednosti derivacije brzine za $t = t_0$.

3. zadatak za zadaću

Zadana je funkcija  $\displaystyle f(x) = 3x\sin\frac{x^2+1}{\sqrt{2+x^4}}$.  Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za $x_0=\mathrm{tg}\,3$: prva ili druga?

4. zadatak za zadaću

Da li funkcija $f(x) = \sin(x) + \cos(2x) + \sin(3x)$ raste ili pada u točki $x_0 = 2,\!3$?

Uputa: funkcija $f(x)$ raste u točki $x_0$ ako je  $f'(x_0) > 0$,  a pada ako je  $f'(x_0) < 0$.

5. zadatak za zadaću

Za funkciju  $f(x) = x^4 - 10 x^2 + 9$  odredite područje u kojemu raste.

Uputa: funkcija $f(x)$ raste za one vrijednosti varijable $x$ za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom solve()) nejednadžbu  $f'(x) > 0$.

6. zadatak

Odredite lokalne ekstreme funkcije  $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+8}{x-2}$.

1. korak:

1. definirajte funkciju,
2. izračunajte njezinu prvu derivaciju,
3. pomoću funkcije solve() odredite nul–točke dobivene derivacije.

2. korak:

• pomoću druge derivacije odredite prirodu ekstrema: ako je druga derivacija u stacionarnoj točki veća od nule, funkcija ima minimum, a ako je manja od nule, maksimum.

Za provjeru nacrtajte graf funkcije na segmentu $[-20, 20]$ ograničivši vrijednosti funkcije sa $-20 < y < 20$. Slici dodajte prikaz ekstrema tako da točke nacrtate funkcijom point2d().

Upotreba funkcije point2d():

    point2d ( (x-koord, y-koord), size = 10, opcije )

podrazumijevana vrijednost opcije size je 10, no može se zadati i druga veličina. Umjesto jednoga para koordinata, može se zadati više točaka kao lista parova koordinata.

7. zadatak

Funkciju  $f(x) = \sin x$  aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$, polinomom trećega stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$; graf aproksimacije nacrtajte crvenom bojom.

Uputa: upotrijebite Taylorov polinom.

6. zadatak za zadaću

Funkciju  $f(x) = \sin x$  aproksimirajte, oko točke $x_0 = 0$, polinomom sedmoga stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za $x \in [-\pi, \pi]$; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.

Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 7. zadataka i ocijenite utjecaj porasta stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.

8. zadatak

Za funkciju  $\displaystyle f(x, y) = \frac{\sin\,x}{y+6}$  izračunajte

1. prve parcijalne derivacije po $x$ i $y$ (simbolički: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ i $\dfrac{\partial f}{\partial y}$),
2. drugu derivaciju, oba puta po $x$ (simbolički: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$),  te izračunajte njezinu vrijednost u točki $(0, -3)$,
3. vrijednosti svih drugih parcijalnih derivacija u točki $(0, -3)$. Uputa: upotrijebite Hesseovu matricu.

7. zadatak za zadaću

Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije  $f(x,y) = \ln\,\dfrac{\cos y}{\cos x}$.