Processing math: 100%

MPZI_vj07

2424 days ago by fresl

Limesi i derivacije


Limesi nizova i funkcija


1. zadatak

Izračunajte limes niza čiji je opći član  an=2n+1+3n+12n+3n  kada n teži prema beskonačnosti.

       


2. zadatak

Zadana je funkcija f(x)=sin(x)|x| . 
Funkcija, očito, nije definirana u x=0. Odredite njezin limes s lijeva i s desna kada x teži prema 0.

Za geometrijski prikaz rezultata nacrtajte graf funkcije nad segmentom [5,5].

       
       
       
       


1. zadatak za zadaću

Izračunajte limes funkcije  sin(x)x2+2x+cos(x+1)  za x1.

       

 

3. zadatak

  1. Definirajte funkciju  f(x)=x3x21.
  2. Odredite vertikalne asimptote te funkcije (vertikalne se asimptote mogu pojaviti u nul–točkama nazivnika).
  3. Pokažite da graf funkcije ima jednu kosu asimptotu i odredite njezinu jednadžbu.  Uputa: Pravac  y=kx+l  je kosa asimptota ako je  k=limxf(x)x  i   l=limx(f(x)kx)  ili  k=limxf(x)x  i   l=limx(f(x)kx);  parovi uvjeta mogu, ali ne moraju dati istu asimptotu.
  4. Nacrtajte graf funkcije f i njegove asimptote nad segmentom [4,4].  Vrijednosti funkcije ograničite na segment [10,10].  Neka je duljina jedinice na osi y upola kraća od duljine jedinice na osi x. Kosu asimptotu nacrtajte crvenom bojom. Vertikalnu asimptotu dobivate opcijom detect_poles='show' funkcije plot().
  5. Uklonite funkciju f.
       
  • Određivanje vertikalnih asimptota:
       
       
       
       
  • Određivanje kosih asimptota:
       
       
       
       
  • Graf s asimptotama:
       
       
  • Uklanjanje funkcije:
       


2. zadatak za zadaću

  1. Definirajte funkciju  f(x)=(x1)2x2+1.
  2. Odredite njezine kose asimptote za x+ i za x  (dobit ćete dvije različite asimpote).
  3. Nacrtajte graf funkcije f  i njegove asimptote nad segmentom [5,9]; upotrijebite različite boje. Neka jedinice na osima budu jednake.
  4. Uklonite funkciju f.
       

 

Derivacije funkcija


4. zadatak

Za funkciju  g(x)=sin(x)x+1  izračunajte

  • prvu i treću derivaciju,
  • numeričku vrijednost njezine pete derivacije za x=6.
       
       
       
       
       


5. zadatak

(Primjena u kinematici)  Točka se giba po pravcu brzinom  v(t)=t2+t.  Koliko je ubrzanje te točke u trenutku t0=1,5?

Uputa: ubrzanje u trenutku t0 jednako je vrijednosti derivacije brzine za t=t0.

       


3. zadatak za zadaću

Zadana je funkcija  f(x)=3xsinx2+12+x4.  Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za x0=tg3: prva ili druga?

       

 

4. zadatak za zadaću

Da li funkcija f(x)=sin(x)+cos(2x)+sin(3x) raste ili pada u točki x0=2,3?

Uputa: funkcija f(x) raste u točki x0 ako je  f(x0)>0,  a pada ako je  f(x0)<0.

       

 

5. zadatak za zadaću

Za funkciju  f(x)=x410x2+9  odredite područje u kojemu raste.

Uputa: funkcija f(x) raste za one vrijednosti varijable x za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom solve()) nejednadžbu  f(x)>0.

       

 

6. zadatak

Odredite lokalne ekstreme funkcije  f(x)=x2+8x2.

1. korak:

  1. definirajte funkciju,
  2. izračunajte njezinu prvu derivaciju,
  3. pomoću funkcije solve() odredite nul–točke dobivene derivacije.
... dobit ćete apscise stacionarnih točaka.
       
       
       

2. korak:

  • pomoću druge derivacije odredite prirodu ekstrema: ako je druga derivacija u stacionarnoj točki veća od nule, funkcija ima minimum, a ako je manja od nule, maksimum.
       
       
       

Za provjeru nacrtajte graf funkcije na segmentu [20,20] ograničivši vrijednosti funkcije sa 20<y<20. Slici dodajte prikaz ekstrema tako da točke nacrtate funkcijom point2d().

Upotreba funkcije point2d():

    point2d ( (x-koord, y-koord), size = 10, opcije )

podrazumijevana vrijednost opcije size je 10, no može se zadati i druga veličina. Umjesto jednoga para koordinata, može se zadati više točaka kao lista parova koordinata.

       


7. zadatak

Funkciju  f(x)=sinx  aproksimirajte, oko točke x0=0, polinomom trećega stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za x[π,π]; graf aproksimacije nacrtajte crvenom bojom.

Uputa: upotrijebite Taylorov polinom.

       
       


6. zadatak za zadaću

Funkciju  f(x)=sinx  aproksimirajte, oko točke x0=0, polinomom sedmoga stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za x[π,π]; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.

Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 7. zadataka i ocijenite utjecaj porasta stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.

       
       
       
       
       

 

8. zadatak

Za funkciju  f(x,y)=sinxy+6  izračunajte

  1. prve parcijalne derivacije po x i y (simbolički: fx i fy),
  2. drugu derivaciju, oba puta po x (simbolički: 2fx2),  te izračunajte njezinu vrijednost u točki (0,3),
  3. vrijednosti svih drugih parcijalnih derivacija u točki (0,3). Uputa: upotrijebite Hesseovu matricu.
       
       
       
       
       


7. zadatak za zadaću

Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije  f(x,y)=lncosycosx.