Limesi i derivacije
Limesi nizova i funkcija
1. zadatak
Izračunajte limes niza čiji je opći član an=2n+1+3n+12n+3n kada n teži prema beskonačnosti.
|
2. zadatak
Zadana je funkcija f(x)=sin(x)|x| .
Funkcija, očito, nije definirana u x=0. Odredite njezin limes s lijeva i s desna kada x teži prema 0.
Za geometrijski prikaz rezultata nacrtajte graf funkcije f nad segmentom [−5,5].
|
|
|
|
1. zadatak za zadaću
Izračunajte limes funkcije sin(x)x2+2x+cos(x+1) za x→−1.
|
3. zadatak
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. zadatak za zadaću
|
Derivacije funkcija
4. zadatak
Za funkciju g(x)=sin(x)x+1 izračunajte
|
|
|
|
|
5. zadatak
(Primjena u kinematici) Točka se giba po pravcu brzinom v(t)=t2+√t. Koliko je ubrzanje te točke u trenutku t0=1,5?
Uputa: ubrzanje u trenutku t0 jednako je vrijednosti derivacije brzine za t=t0.
|
3. zadatak za zadaću
Zadana je funkcija f(x)=3xsinx2+1√2+x4. Koja njezina derivacija ima veću vrijednost za x0=tg3: prva ili druga?
|
4. zadatak za zadaću
Da li funkcija f(x)=sin(x)+cos(2x)+sin(3x) raste ili pada u točki x0=2,3?
Uputa: funkcija f(x) raste u točki x0 ako je f′(x0)>0, a pada ako je f′(x0)<0.
|
5. zadatak za zadaću
Za funkciju f(x)=x4−10x2+9 odredite područje u kojemu raste.
Uputa: funkcija f(x) raste za one vrijednosti varijable x za koje je prva derivacija pozitivna. Znači, treba riješiti (funkcijom solve()) nejednadžbu f′(x)>0.
|
6. zadatak
Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x)=x2+8x−2.
1. korak:
|
|
|
2. korak:
|
|
|
Za provjeru nacrtajte graf funkcije na segmentu [−20,20] ograničivši vrijednosti funkcije sa −20<y<20. Slici dodajte prikaz ekstrema tako da točke nacrtate funkcijom point2d().
Upotreba funkcije point2d():
point2d ( (x-koord, y-koord), size = 10, opcije )
podrazumijevana vrijednost opcije size je 10, no može se zadati i druga veličina. Umjesto jednoga para koordinata, može se zadati više točaka kao lista parova koordinata.
|
7. zadatak
Funkciju f(x)=sinx aproksimirajte, oko točke x0=0, polinomom trećega stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za x∈[−π,π]; graf aproksimacije nacrtajte crvenom bojom.
Uputa: upotrijebite Taylorov polinom.
|
|
6. zadatak za zadaću
Funkciju f(x)=sinx aproksimirajte, oko točke x0=0, polinomom sedmoga stupnja. Nacrtajte, na istoj slici, oba grafa za x∈[−π,π]; graf derivacije nacrtajte narančastom bojom.
Usporedite dobivenu sliku sa slikom iz 7. zadataka i ocijenite utjecaj porasta stupnja aproksimativnog polinoma na promjenu u kvaliteti aproksimacije.
|
|
|
|
|
8. zadatak
Za funkciju f(x,y)=sinxy+6 izračunajte
|
|
|
|
|
7. zadatak za zadaću
Odredite sve prve i sve druge parcijalne derivacije funkcije f(x,y)=lncosycosx.
|
|