MPZI_vj06

Jednadžbe, sustavi jednadžbi i nejednadžbe

Rješenja jednadžbi koje su zadane simboličkim izrazima u obliku polinoma

1. zadatak

Definirajte funkciju  $f(x)=x^4-\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{26}{9}x^2 + 2x - \dfrac{1}{3}$  i riješite jednadžbu  $f(x) = 0$.  Izdvojite prvo rješenje pa odredite decimalni prikaz tog rješenja na 20 znamenaka.  Izračunavanjem vrijednosti funkcije $f$ u prvom rješenju provjerite da je dobiveni rezultat zaista rješenje.

Prvo rješenje je

njegova je numerička vrijednost

Decimalni je prikaz rješenja

Provjera da je dobiveni rezultat zaista rješenje:

Numerička provjera:

2. zadatak

Odredite rješenje iste jednadžbe kao u prvom zadatku, ali odredite i „kratnost” rješenja.

1. zadatak za zadaću

Definirajte funkciju  $f(x) = x^3- x^2 - 6$  i nađite njezine nul–točke. Ispišite numeričku vrijednost posljednje nul–točke, pridružite je varijabli $\mathtt{x1}$ i provjerite, izračunavanjem $f(\mathtt{x1})$, da je $\mathtt{x1}$ nul–točka.

Nul–točke polinoma

3. zadatak

Definirajte funkciju  $f(x) = 2x^9- 3x^7+ x^2 - 3x - 4$  pa pokušajte, pomoću funkcije solve(), riješiti jednadžbu $f(x) = 0$.

Primjenom funkcije .polynomial() uvedite polinom nad realnim brojevima zadan funkcijom $f$ i nazovite ga $\mathtt{polr}$. Odredite realne nul–točke polinoma $\mathtt{polr}$, izdvojite prvo rješenje te provjerite je li dobiveni rezultat nul–točka zadanoga polinoma.

Ponovnom primjenom funkcije .polynomial() uvedite polinom nad kompleksnim brojevima zadan istom funkcijom; nazovite ga $\mathtt{polc}$. Odredite sve nul–točke polinoma $\mathtt{polc}$, izdvojite prvo rješenje koje nije realno te provjerite je li dobiveni rezultat nul–točka zadanoga polinoma.

Funkcija:

Rješavanje funkcijom solve():

Transformacija funkcije u polinom nad skupom realnih brojeva i traženje realnih nul–točaka:

Prvo rješenje:

Transformacija funkcije u polinom nad skupom kompleksnih brojeva i traženje svih nul–točaka:

Prvo kompleksno rješenje:

2. zadatak za zadaću

Neka je  $f(x) = x^6 -2x^2 +x - 1$.  Pokušajte, pomoću funkcije solve(), riješiti jednadžbu $f(x) = 0$.

Pretvorite $f$ u polinom nad skupom realnih brojeva i odredite mu realne nul–točke. Izdvojite zadnje realno rješenje pa provjerite da je to zaista nul–točka.

Pretvorite $f$ u polinom nad skupom kompleksnih brojeva i odredite mu sve nul–točke. Izdvojite zadnje rješenje koje nije realno pa provjerite da je to zaista nul–točka.

Numeričko (približno) rješavanje jedne jednadžbe s jednom nepoznanicom

4. zadatak

Numerički odredite negativnu nul–točku funkcije $f(x)=\sin(x)-x^3$. Za određivanje intervala u kojemu leži tražena nul–točka nacrtajte graf na intervalu $(-2, 2)$, a zatim se „približite” negativnoj nul–točki.

Provjerite da je dobiveni broj zaista rješenje.

Za vježbu odredite pozitivnu nul–točku funkcije (rezultat: $x_0 \approx 0,\!928\,626$).

5. zadatak

Jednadžba $\displaystyle \sqrt{x^2+1} - \mathrm{tg}\,x = 0$ ima beskonačno mnogo rješenja. Da biste predočili tu činjenicu nacrtajte graf funkcije $f(x)$ za $-10\le x\le 10$; za bolji prikaz slike upotrijebite opcije ymin = -2 , ymax = 2 te detect_poles = 'show'.

Numerički odredite najmanje pozitivno rješenje jednadžbe $\displaystyle \sqrt{x^2+1} - \mathrm{tg}\,x = 0$. Za određivanje „maloga” intervala u kojemu se nalazi rješenje nacrtajte graf za $x\in[0, 1]$.

Provjerite da je dobiveni rezultat zaista rješenje.

Za vježbu nađite sljedeće po veličini rješenje. Uputa: nacrtajte graf za $x \in [4; 4,\!6]$ (rezultat: $x_0 \approx 4,\!498\,711\,86$).

3. zadatak za zadaću

Numerički odredite nul–točku funkcije $f(x) = x^2 - 2 + \mathrm{ln}\,x$.

Uputa: nacrtajte graf za $x\in[0, 2]$.

Sustavi linearnih jednadžbi

6. zadatak

Riješite sustav

   $2x + y + z = 4$

   $x + 2y + z = 3$

   $x + y + 2z = 2$

Koliko iznosi brojčana vrijednost komponente $y$ dobivenoga rješenja?

Koliko ste rješenja dobili?

7. zadatak

Riješite sustav

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $3x + 3y + 2z = 2$

(Promjena u odnosu na prethodni zadatak je samo u koeficijentima uz x i y u trećoj jednadžbi.)

Koliko ste rješenja dobili?

8. zadatak

Riješite sustav

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $3x + 3y + 2z = 7$

(U odnosu na prethodni zadatak, promijenjena je samo desna strana zadnje jednadžbe.)

Koliko ste rješenja dobili?

9. zadatak

Sustav (iz zadatka 6.)

    $2x + y + z = 4$

    $x + 2y + z = 3$

    $x + y + 2z = 2$

riješite prevođenjem u matrični oblik. Uzmite da su komponente matrice $\mathbf{A}$ i vektora $\mathbf{b}$ racionalni brojevi.

4. zadatak za zadaću

Riješite sustav

    $-x + 2y +3z \,=\, 8$

    $3x - y - z \,=\, -3$

    $3x -3 y + 2 z \,=\,1$.

Koliko iznosi numerička vrijednost varijable $z$ u rješenju? Koliko smo rješenja dobili?

Ako je rješenje jedinstveno, riješite sustav prevođenjem u matrični oblik (s komponentama u skupu $\mathbb{Q}$).

Nejednadžbe

10. zadatak

Odredite na kojem je podskupu realnih brojeva  $x^2-1$  veće od  $x^3-1$,  a na kojem je veće ili jednako?

11. zadatak

Odredite domenu funkcije  $\displaystyle f(x)=\ln \frac{x-2}{x^2-9}$.

Uputa: logaritam je definiran na skupu pozitivnih brojeva, pa mora vrijediti  $\displaystyle \frac{x-2}{x^2-9} > 0$.  Uz to, mora biti  $x^2-9 \ne 0$.

12. zadatak

Odredite domenu funkcije $\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{\ln\, (2x-1)}$.

Postupak.

1. da bi drugi korijen bio definiran treba veličina pod korijenom biti nenegativna tj. treba vrijediti $1 - x^2 \geq 0$,
2. da bi logaritam bio definiran njegov argument mora biti strogo pozitivan, tj. treba biti $2x - 1 > 0$,
3. da bi razlomak bio definiran nužno je da je nazivnik različit od 0, što znači da iz skupa dobivenoga iz prva dva uvjeta treba izbaciti rješenje jednadžbe $\ln(2x-1) =  0$.

5. zadatak za zadaću

Odredite na kojemu podskupu skupa $\mathbb{R}$ funkcija  $f : x \mapsto 4\,x^3 - 8\,x^2 - 4\,x + 8$  poprima manje vrijednosti od funkcije  $g : x \mapsto \dfrac{1}{x}$.