MPZI_predavanje_06

Jednadžbe i nejednadžbe

Jednadžbe su relacijski izrazi koji sadrže dva aritmetička (pod)izraza povezana relacijskim operatorom  $\mathtt{==}$, dok su nejednadžbe relacijski izrazi koji sadrže dva aritmetička izraza povezana relacijskim operatorima $\mathtt{<}$,  $\mathtt{>}$,  $\mathtt{<=}$  i  $\mathtt{>=}$.  (Aritmetičke ste izraze upoznali na drugom predavanju.) Izrazi koji ulaze u jednadžbe i nejednadžbe ponajčešće sadrže varijable koje se uzimaju za nepoznanice.

Izraz lijevo od relacijskoga operatora naziva se lijevom stranom (engl. left hand side, lhs), a izraz operatoru zdesna desnom stranom (engl. right hand side, rhs).

Nelinearne algebarske jednadžbe s jednom nepoznanicom

Jednadžbe oblika  a == b,  gdje su a i b aritmetički izrazi od kojih barem jedan sadrži varijablu x, možemo pisati u obliku  a − b == 0.  Definiramo li s pomoću izraza  a − b  funkciju  f(x) = a − b,  rješavanje jednadžbe  a == b  može se interpretirati i kao nalaženje nul–točaka funkcije f(): treba naći vrijednosti varijable x za koje je  f(x) == 0. Nul–točke funkcije nazivamo i njezinim korijenima.

Za nalaženje točnih rješenja nelinearnih jednažbi s jednom nepoznanicom upotrebljava se funkcija solve():

Budući da nelinearne jednadžbe najčešće imaju više rješenja, ona su navedena u listi:

Svaka je komponenta liste rješenja relacijski izraz s operatorom ==. Lijeva je strana izraza oznaka nepoznanice, a desna vrijednost rješenja:

Rješenje možemo provjeriti uvrštavanjem:

Približne „realne” vrijednosti rješenja možemo, kao i uvijek, dobiti s pomoću funkcije N():

... i „realna” se rješenja, naravno, mogu provjeriti, ali tada ne treba očekivati točno zadovoljenje jednadžbe:

Za polinome stupnja manjega od 5 nul–točke se uvijek mogu točno odrediti. Ako su koeficijenti polinoma cijeli ili racionalni brojevi, onda pod točnim rješenjem podrazumijevamo izraze koji sadrže samo cijele i racionalne brojeve i njihove cijele i racionalne potencije povezane aritmetičkim operatorima. Rješenja mogu biti i kompleksna, pri čemu rečeno vrijedi za realni i za imaginarni dio:

Ako su koeficijenti polinoma zadani kao „realni” brojevi (u zapisu s točkom), SageMath će ih prešutno pretvoriti u racionalne brojeve:

Koeficijenti polinoma mogu biti i funkcije cijelih i racionalnih brojeva:

Napokon, koeficijenti mogu biti zadani i kao opći brojevi:

Polinom $n$-tog stupnja ima $n$ nul–točaka. Neke od njih, kao što smo vidjeli, mogu biti kompleksne; ako su koeficijenti polinoma realni brojevi, kompleksne se nul–točke uvijek javljaju u konjugirano–kompleksnim parovima. Osim toga, neke nul–točke mogu biti višestruke:

Funkcijom solve() mogu se naći i korijeni nekih polinoma stupnja višega od 4:

... nekih, ali ne svih...

Funkcija solve() može zatražiti pomoć funkcije to_poly_solve() programskog paketa Maxima (koji je „ugrađen” u SageMath), ali će pritom često pronaći približna, a ne točna rješenja:

Funkcijom solve(), potpomognutom funkcijom to_poly_solve(), mogu se naći i nul–točke još nekih funkcija:

... nekih, ali ne svih...

Ako funkcija ima beskonačno mnogo (periodičnih) korijena, za njihov će prikaz biti uvedena pomoćna varijabla; varijable oblika zNN su cjelobrojne, a oblika rNN realne:

Korijeni polinoma

Približne vrijednosti korijena polinoma možemo naći funkcijom .roots(). Ona nalazi i korijene polinoma stupnjeva viših od 4. Pritom treba funkcijom .polynomial() „opću” funkciju „pretvoriti” u polinom navodeći kojemu skupu brojeva pripadaju njegovi koeficijenti — u istom će se skupu tražiti i korijeni, a funkcija nalazi sve korijene koji su u njemu.

Rezultat funkcije .roots() je lista uređenih parova: prva je komponenta para vrijednost korijena, a druga njegova „strukost”. Ako nas „strukosti” ne zanimaju, možemo zatražiti i samo listu vrijednosti:

Postoji uska veza između korijena polinoma i rastavljanja polinoma na faktore (o kojemu je bilo riječi na drugom predavanju): ako su $x_1,\, x_1,\,\ldots,\,x_n$ realni i kompleksni korijeni polinoma

$P_n (x) \,=\, a_n x^n + a_{n_1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$,

onda je njegova faktorizacija

$P_n (x) \,=\, a_n\cdot(x - x_1)\cdot(x - x_2)\cdots(x - x_n)$.

Ako $P_n$ zadamo na skupu $\mathbb{R}$, u rastavu se mogu pojaviti i polinomi drugoga stupnja (koji nemaju korijena u skupu $\mathbb{R}$, nego u skupu $\mathbb{C}$):

Numeričko rješavanje nelinearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom

Razmjerno se mali broj „općih” nelinearnih jednadžbi može točno riješiti.

Nelinearne se jednadžbe rješavaju, odnosno, što je isto, nul–točke nelinearnih funkcija određuju se stoga najčešće različitim numeričkim iteracijskim postupcima, što znači postupnim približavanjem u nizu sve točnijih, ali ipak uvijek tek približnih rješenja: iteracijski se postupak prekida kad je  $|f(x)| < \tau$,  gdje je $\tau$ zadana točnost.

Numeričkom određivanju korijena funkcije jedne varijable namijenjena je funkcija find_root(). Za njezinu primjenu treba zadati i krajeve intervala u kojemu se traženi korijen nalazi. Taj se interval može odrediti pomoću grafa funkcije.

Podrazumijeva se točnost  $\tau = 1\cdot 10^{-12}$, ali se ona može i povećati ili smanjiti.

Ako funkcija ima više nul–točaka, možemo ih naći pogodnim odabirom intervala.

Ako zadamo interval u kojem se nalazi više nul–točaka, find_root() će naći jednu od njih:

Možemo dobiti i potpunije podatke o iteracijskom postupku.

Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

Manji sustavi linearnih jednadžbi mogu se riješiti funkcijom solve().

Jednadžbe se navode u listi, a sve nepoznanice moraju prethodno biti „uvedene” kao varijable:

... ili (možda) preglednije napisano:

Sustav može imati jedinstveno rješenje ili beskonačno mnogo njih, a može i ne imati rješenje:

Veće je sustave pogodnije prikazati u matričnom obliku $\mathbf{A}\, \mathbf{x} = \mathbf{b}$.

Primjerice, za sustav

$a_{0,0}\,x_0 + a_{0,1}\,x_1 + a_{0,2}\,x_2  \,=\, b_0$

$a_{1,0}\,x_0 + a_{1,1}\,x_1 + a_{1,2}\,x_2  \,=\, b_1$

$a_{2,0}\,x_0 + a_{2,1}\,x_1 + a_{2,2}\,x_2  \,=\, b_2$

su

$\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\  a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right]$,    $\mathbf{b} = \left[ \begin{array}{c} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{array} \right]$    i    $\mathbf{x} = \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{array} \right]$,

dok su za sustav

$4\, x_0 - x_1 - x_2 - x_5 \,=\, 5$

$-x_0 + 4\, x_1 - x_2 - x3 \,=\, -5$

$-x_0 - x_1 + 4\, x_2 - x_3 - x_4 \,=\, 4$

$-x_1 - x_2 + 4\, x_3 - x_4 - x_5 \,=\, -6$

$-x_2 - x_3 + 4\, x_4 - x_5 \,=\, -5$

$-x_0 - x_3 - x_4 + 4\, x_5 \,=\, -5$

matrica sustava $\mathbf{A}$ i vektor slobodnih članova $\mathbf{b}$  (uzmemo li da su koeficijenti u jednadžbama „realni”)

... ili:

Ako su koeficijenti u jednadžbama racionalni brojevi, onda su

Sustavi nelinearnih algebarskih jednadžbi

Tek se rijetki manji sustavi nelinearnih jednadžbi mogu točno riješiti.

Sustavi nelinearnih algebarskih jednadžbi mogu se numerički rješavati primjenom funkcija modula optimize (Optimization and root finding) programskoga paketa SciPy, uključenog i u SageMath, ali to je druga — i razmjerno duga — priča.

Nejednadžbe

Funkcijom solve() mogu se rješavati i nejednadžbe. Rješenja nejednadžbi konačni su ili beskonačni odsječci osi $x$.

... vrijednosti funkcije $x^2 - 2\,x - 2$ bit će negativne ako je  $x\in (-\sqrt{3}+1, \sqrt{3}+1)$.

... vrijednosti funkcije $x^2 - 2\,x - 2$ bit će pozitivne ako je  $x\in (-\infty, -\sqrt{3}+1)$  ili ako je  $x\in (\sqrt{3}+1, \infty)$.

... vrijednosti funkcije $x^2$ bit će veće od vrijednosti funkcije  $2\,x + 2$  ako je  $x\in (-\infty, -\sqrt{3}+1)$  ili ako je  $x\in (\sqrt{3}+1, \infty)$.

... vrijednosti funkcije $x^2$ bit će manje od vrijednosti funkcije  $2\,x + 2$  ako je  $x\in (-\sqrt{3}+1, \sqrt{3}+1)$.

... vrijednosti funkcije  $x^2 + 1$  pozitivne su za sve $x$ (koji su manji od $\infty$).

... niti jedna vrijednost funkcije  $x^2 + 1$  nije negativna.

Nejednadžbe i njihove sustave primjenjujemo u određivanju domena funkcija. Nažalost, SageMath će ponekad zatrebati našu pomoć u rješavanju sustava nejednadžbi: problem ćemo morati riješiti u nekoliko koraka.

Primjerica, neka je  $f(x) = \dfrac{\sqrt{(x-2)^2 - 4}}{\ln\, (x+4)}$.  Treba odrediti domenu funkcije $f$. Podsjećamo:

• izraz $\sqrt{x}$ poprima realne vrijednosti za $x \ge 0$;
• izraz $\ln x$ poprima konačne realne vrijednosti za $x > 0$;
• izraz $x/y$ je definiran za $y \ne 0$.

... domena funkcije  $f$  je  $(-4, 0] \!\setminus\!\{-3\}   \cup   [4, \infty)$.

Kao drugi primjer, neka je  $f(x) = \dfrac{\sqrt{(x-2)^2 - \frac{1}{2}}}{\ln x}$.

... domena funkcije  $f$  je  $(0, 2-\frac{1}{2}\sqrt{2}] \!\setminus\!\{1\}   \cup   [2+\frac{1}{2}\sqrt{2}, \infty)$.