MPZI_vj02

2807 days ago by fresl

(„Lijepi” ispis svih rezultata, bez poziva funkcije show(), možete dobiti tako da na vrhu radnog lista označite kvadratić kraj riječi Typeset.) 


Izrazi, funkcije, polinomi i njihovi grafovi


Simbolički izrazi


1. zadatak

Definirajte simbolički izraz  $\mathtt{ex1} = 3x^3 + 18x^2 +9x -30$  pa zatim

  1. izračunajte vrijednost $\mathtt{ex1}$ za $x=2$,
  2. rastavite $\mathtt{ex1}$ na faktore,
  3. dobivene faktore pomnožite (razvijte izraz dobiven faktorizacijom) i provjerite jeste li ponovo dobili $\mathtt{ex1}$,
  4. zamijenite u $\mathtt{ex1}$ varijablu $x$ sa $x^2+1$,
  5. novodobiveni izraz razvijte pa rastavite na faktore.

 

Definicija i račun za $x=2$:
       
       
       

Faktorizacija i razvoj:
       
       

Zamjena $x$ sa $x^2+1$, razvoj i faktorizacija:
       
       
       


2. zadatak

Sage ne rastavlja svaki simbolički izraz koji je polinom na faktore. Pokušajte, na primjer, izraz $\mathtt{ex} = 3x^5-4x^3+3$ rastaviti na faktore.  U dijelu posvećenom polinomina, u ovom radnom listu, bit će prikazano kako se ovakav izraz ipak može rastaviti.
       

 


3. zadatak

Definirajte simbolički izraz  $\displaystyle \mathtt{ex} = \sin (x + \frac{n\pi}{2})$  pa zatim

  1. pojednostavnite $\mathtt{ex}$ primjenom funkcije expand_trig(),
  2. u dobivenom izrazu provedite zamjenu $x=0$ i rezultat označite s $\mathtt{ex1}$,
  3. izraz $\mathtt{ex1}$ izračunajte za parne i za neparne vrijednosti broja $n$.

 

Definiranje izraza:
       

Pojednostavnjenje pomoću .expand_trig() i zamjena x s 0:
       
       

Račun za parne $n$:
       
       

Za neparni $n$ izraz $\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}$ je jednak $+1$ ili $-1$ i to prema sljedećem pravilu: neka je $n=2k+1$; tada je

$\displaystyle \sin\frac{(2k+1)\pi}{2} = \left\{ \begin{array}{rcl} 1& \mathrm{za}  & k \;\; \mathrm{paran}\;\; \mathrm{ili}\;\; 0 \\  -1& \mathrm{za}  & k \;\; \mathrm{neparan} \end{array} \right. $

Takav rezultat Sage ne zna zapisati:
       

Pojedinačne vrijednosti za $n$ daju ispravan rezultat:
       
       
       

Naravno, zadatak možemo riješiti i tako da  $\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}$  napišemo u obliku  $\displaystyle \sin\frac{(2k+1)\pi}{2}$,  pa taj izraz pojednostavnimo uz odgovarajuće pretpostavke o $k$:
       
       
       


1. zadatak za zadaću

Neka je $\mathtt{ex} = 2x^5 - 4x^4 - 2x + 4$.

  1. Izračunajte $\mathtt{ex}$ za $x = 1,\!5$.
  2. Rastavite $\mathtt{ex}$ na faktore.
  3. Razvijte izraz dobiven faktorizacijom (pomnožite dobivene faktore).
  4. U $\mathtt{ex}$ zamijenite $x$ s $2x^2+3$ pa novodobiveni izraz rastavite na faktore.
       


2. zadatak za zadaću

Neka je  $\mathtt{ex} = \ln(e\cdot x)+ \mathrm{tg}(x-1+n\cdot \pi\cdot x)$.

  1. Pojednostavnite izraz $\mathtt{ex}$ naredbom simplify_full().
  2. Izračunajte $\mathtt{ex}$ za $x=1$. Potom pretpostavite da je broj $n$ cijeli pa ponovo izračunajte $\mathtt{ex}$ za $x=1$.
       

 


Definicija funkcije i graf funkcije


Funkcija plot()

Eksplicitno zadana krivulja je krivulja zadana izrazom oblika $y=f(x)$.

Crtanje eksplicitno zadanih krivulja u ravnini izvodi se funkcijom plot(). Oblik poziva je 

plot (funkcija,  (varijabla, donja_granica, gornja_granica),  opcije...)

ili

plot (funkcija,  donja_granica_varijable, gornja_granica_varijable,  opcije...)

 

Najvažnije su opcije:

  • plot_points — (podrazumijeva se: 200) broj točaka koje će se upotrebiti za crtanje grafa,
  • ymin — početna vrijednost varijable y u slici,
  • ymax — završna vrijednost varijable y u slici,
  • linestyle — način crtanja linije:
    • '-' ili 'solid' — puna linija (podrazumijeva se),
    • ':' ili 'dotted' — točkasto,
    • '--' ili 'dashed' — crtano,
    • '-.' ili 'dashdot' — crta–točka,
    • ' ' (razmak) ili 'None' — ništa,
  • color — tekstom (nizom znakova) zadano ime boje, npr. 'cyan', ili trojka brojeva koja zadaje boju RGB podacima,
  • detect_poles — (podrazumijeva se: False) ako se postavi na True, polovi će biti pronađeni, a ako se postavi na 'show' bit će nacrtane i vertikalne asimptote,
  • fill — (podrazumijeva se: False) ako se postavi na True, područje između grafa i osi $x$ bit će osjenčeno,
  • figsize — (podrazumijeva se: 8)  veličina slike, upola manji broj znači, približno, upola manju sliku,
  • axes — (podrazumijeva se: True) ako se postavi na False, osi koordinatnog sustava neće biti nacrtane,
  • axes_labels — nazivi osi, zadaje se u obliku ['naziv_x_osi', 'naziv_y-osi'] ili ('naziv_x_osi', 'naziv_y-osi'),
  • frame — (podrazumijeva se: False) ako se postavi na True, oko slike će biti nacrtan okvir,
  • aspect_ratio — omjer duljina jediničnih dužina na osima $y$ i $x$ (omjer visine i širine pravokutnika koji će biti prikazan kao kvadrat),
  • legend_label — oznaka krivulje na slici; zadaje se kao tekst (niz znakova),
  • thickness — (podrazumijeva se: 1) debljina linije.
     

 


4. zadatak

  1. Definirajte funkciju $\displaystyle  f(x)=\frac{x}{x^2-1}$.
  2. Izračunajte vrijednost i približnu vrijednost funkcije $f$ u točki $\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{\ln 5}$.
  3. Nacrtajte graf funkcije $f$ nad intervalom $[-6,6]$, a zatim, upotrebom opcija ymin i ymax, ograničite $y$ tako da vrijedi $-1,\!5 < y < 1,\!5$. Opcijom thickness postavite debljinu linije na 4.

 
       
       
       
       
       



3. zadatak za zadaću

  1. Definirajte funkciju  $g(x)=x+\sin x$.
  2. Odredite je li $|g(1,\!2)|$ veće od $|g(-2,\!1)|$
  3. Nacrtajte graf funkcije $g$ nad intervalom $[-8,8]$ pomoću naredbe plot(). Neka veličina slike bude 5.
  4. Primjenom odgovarajućih opcija uredite sliku tako da je omjer jedinica na osima $y$ i $x$ jednak 1/6, imenujte osi $x$ i $y$, a graf neka bude crvene boje, nacrtan točkasto.
       

 

5. zadatak

Na istoj slici nacrtajte grafove funkcija $\sin\!x$, $\sin\frac{x}{2}$ i $\sin2x$ nad intervalom $[0,2\pi]$. Obojite ih redom crveno, plavo i zeleno. Nacrtajte iste grafove na novoj slici tako da se osi ne prikazuju.

 
       
       
       

 


Polinomi


6. zadatak

Simbolički izraz $\mathtt{ex} = 3x^5-4x^3+3$ (iz zadatka br. 2) transformirajte tako da Sage zna da je to polinom nad skupom realnih brojeva. Polinom potom rastavite na faktore. Nakon toga konvertirajte $\mathtt{ex}$ u polinom nad skupom kompleksnih brojeva te ga rastavite na faktore.
       
       
       
       
       


7. zadatak

Definirajte dva simbolička izraza:

  • $\mathtt{ex1} = t^3-t^2-t-2$
  • $\mathtt{ex2} = t^4+t^3-4t-16$

pa ih pretvorite u polinome $\mathtt{pol1}$ i $\mathtt{pol2}$ nad skupom realnih brojeva.

Zatim:

  1. izračunajte vrijednost polinoma $\mathtt{poli1}$ u točki $t=2,\!5$,
  2. odredite zbroj i umnožak polinoma  $\mathtt{poli1}$  i $\mathtt{poli2}$,
  3. izračunajte kvocijent i ostatak dijeljena polinoma $\mathtt{poli2}$ polinomom $\mathtt{poli1}$,
  4. rastavite polinom $\mathtt{poli2}$ na faktore (nad skupom realnih brojeva) pa dobivene faktore pomnožite (razvijte izraz dobiven faktorizacijom),
  5. nacrtajte graf polinoma $\mathtt{poli2}$ za $t \in [-2,\!1;\, 2,\!1]$.

 

  • definiranje simboličkih izraza
       
       
  • pretvaranje simboličkih izraza u polinome
       
       
  • računanje s polinomima
       
       
       
       
       
  • faktoriziranje i razvoj
       
       
  • crtanje grafa
       
       


4. zadatak za zadaću

Definirajte dva izraza

  • $\mathtt{ex1} = v^4-1$
  • $\mathtt{ex2} = v^6+9v^4-v^2-9$

pa ih pretvorite u polinome $\mathtt{poli1}$ i $\mathtt{poli2}$ nad skupom realnih brojeva. Zatim:

  1. izračunajte vrijednost polinoma $\mathtt{poli1}$ u točki $v=-1$,
  2. odredite zbroj i umnožak polinoma $\mathtt{poli1}$ i $\mathtt{poli2}$,
  3. izračunajte kvocijent i ostatak dijeljena polinoma $\mathtt{poli2}$ polinomom $\mathtt{poli1}$,
  4. polinom $\mathtt{poli2}$ rastavite na faktore (nad skupom realnih brojeva) pa dobivene faktore pomnožite (razvijte izraz dobiven faktorizacijom),
  5. izraz $\mathtt{ex2}$ pretvorite u polinom $\mathtt{poli3}$ nad kompleksnim brojevima pa ga faktorizirajte,
  6. nacrtajte graf polinoma $\mathtt{poli2}$ za $v \in [-1,\!1;\, 1,\!1]$.