MPZI_vj02

(„Lijepi” ispis svih rezultata, bez poziva funkcije show(), možete dobiti tako da na vrhu radnog lista označite kvadratić kraj riječi Typeset.) 

Izrazi, funkcije, polinomi i njihovi grafovi

Simbolički izrazi

1. zadatak

Definirajte simbolički izraz  $\mathtt{ex1} = 3x^3 + 18x^2 +9x -30$  pa zatim

1. izračunajte vrijednost $\mathtt{ex1}$ za $x=2$,
2. rastavite $\mathtt{ex1}$ na faktore,
3. dobivene faktore pomnožite (razvijte izraz dobiven faktorizacijom) i provjerite jeste li ponovo dobili $\mathtt{ex1}$,
4. zamijenite u $\mathtt{ex1}$ varijablu $x$ sa $x^2+1$,
5. novodobiveni izraz razvijte pa rastavite na faktore.

Definicija i račun za $x=2$:

Faktorizacija i razvoj:

Zamjena $x$ sa $x^2+1$, razvoj i faktorizacija:

2. zadatak

Sage ne rastavlja svaki simbolički izraz koji je polinom na faktore. Pokušajte, na primjer, izraz $\mathtt{ex} = 3x^5-4x^3+3$ rastaviti na faktore.  U dijelu posvećenom polinomina, u ovom radnom listu, bit će prikazano kako se ovakav izraz ipak može rastaviti.

3. zadatak

Definirajte simbolički izraz  $\displaystyle \mathtt{ex} = \sin (x + \frac{n\pi}{2})$  pa zatim

1. pojednostavnite $\mathtt{ex}$ primjenom funkcije expand_trig(),
2. u dobivenom izrazu provedite zamjenu $x=0$ i rezultat označite s $\mathtt{ex1}$,
3. izraz $\mathtt{ex1}$ izračunajte za parne i za neparne vrijednosti broja $n$.

Definiranje izraza:

Pojednostavnjenje pomoću .expand_trig() i zamjena x s 0:

Račun za parne $n$:

Za neparni $n$ izraz $\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}$ je jednak $+1$ ili $-1$ i to prema sljedećem pravilu: neka je $n=2k+1$; tada je

$\displaystyle \sin\frac{(2k+1)\pi}{2} = \left\{ \begin{array}{rcl} 1& \mathrm{za}  & k \;\; \mathrm{paran}\;\; \mathrm{ili}\;\; 0 \\  -1& \mathrm{za}  & k \;\; \mathrm{neparan} \end{array} \right.$

Takav rezultat Sage ne zna zapisati:

Pojedinačne vrijednosti za $n$ daju ispravan rezultat:

Naravno, zadatak možemo riješiti i tako da  $\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}$  napišemo u obliku  $\displaystyle \sin\frac{(2k+1)\pi}{2}$,  pa taj izraz pojednostavnimo uz odgovarajuće pretpostavke o $k$:

1. zadatak za zadaću

Neka je $\mathtt{ex} = 2x^5 - 4x^4 - 2x + 4$.

1. Izračunajte $\mathtt{ex}$ za $x = 1,\!5$.
2. Rastavite $\mathtt{ex}$ na faktore.
3. Razvijte izraz dobiven faktorizacijom (pomnožite dobivene faktore).
4. U $\mathtt{ex}$ zamijenite $x$ s $2x^2+3$ pa novodobiveni izraz rastavite na faktore.

2. zadatak za zadaću

Neka je  $\mathtt{ex} = \ln(e\cdot x)+ \mathrm{tg}(x-1+n\cdot \pi\cdot x)$.

1. Pojednostavnite izraz $\mathtt{ex}$ naredbom simplify_full().
2. Izračunajte $\mathtt{ex}$ za $x=1$. Potom pretpostavite da je broj $n$ cijeli pa ponovo izračunajte $\mathtt{ex}$ za $x=1$.

Definicija funkcije i graf funkcije

Funkcija plot()

Eksplicitno zadana krivulja je krivulja zadana izrazom oblika $y=f(x)$.

Crtanje eksplicitno zadanih krivulja u ravnini izvodi se funkcijom plot(). Oblik poziva je 

plot (funkcija,  (varijabla, donja_granica, gornja_granica),  opcije...)

ili

plot (funkcija,  donja_granica_varijable, gornja_granica_varijable,  opcije...)

Najvažnije su opcije:

• plot_points — (podrazumijeva se: 200) broj točaka koje će se upotrebiti za crtanje grafa,
• ymin — početna vrijednost varijable y u slici,
• ymax — završna vrijednost varijable y u slici,
• linestyle — način crtanja linije:
  
  • '-' ili 'solid' — puna linija (podrazumijeva se),
  • ':' ili 'dotted' — točkasto,
  • '--' ili 'dashed' — crtano,
    
  • '-.' ili 'dashdot' — crta–točka,
  • ' ' (razmak) ili 'None' — ništa,
• color — tekstom (nizom znakova) zadano ime boje, npr. 'cyan', ili trojka brojeva koja zadaje boju RGB podacima,
• detect_poles — (podrazumijeva se: False) ako se postavi na True, polovi će biti pronađeni, a ako se postavi na 'show' bit će nacrtane i vertikalne asimptote,
  
• fill — (podrazumijeva se: False) ako se postavi na True, područje između grafa i osi $x$ bit će osjenčeno,
• figsize — (podrazumijeva se: 8)  veličina slike, upola manji broj znači, približno, upola manju sliku,
• axes — (podrazumijeva se: True) ako se postavi na False, osi koordinatnog sustava neće biti nacrtane,
• axes_labels — nazivi osi, zadaje se u obliku ['naziv_x_osi', 'naziv_y-osi'] ili ('naziv_x_osi', 'naziv_y-osi'),
  
• frame — (podrazumijeva se: False) ako se postavi na True, oko slike će biti nacrtan okvir,
• aspect_ratio — omjer duljina jediničnih dužina na osima $y$ i $x$ (omjer visine i širine pravokutnika koji će biti prikazan kao kvadrat),
  
• legend_label — oznaka krivulje na slici; zadaje se kao tekst (niz znakova),
  
• thickness — (podrazumijeva se: 1) debljina linije.
   

4. zadatak

1. Definirajte funkciju $\displaystyle  f(x)=\frac{x}{x^2-1}$.
2. Izračunajte vrijednost i približnu vrijednost funkcije $f$ u točki $\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{\ln 5}$.
3. Nacrtajte graf funkcije $f$ nad intervalom $[-6,6]$, a zatim, upotrebom opcija ymin i ymax, ograničite $y$ tako da vrijedi $-1,\!5 < y < 1,\!5$. Opcijom thickness postavite debljinu linije na 4.

3. zadatak za zadaću

1. Definirajte funkciju  $g(x)=x+\sin x$.
2. Odredite je li $|g(1,\!2)|$ veće od $|g(-2,\!1)|$
3. Nacrtajte graf funkcije $g$ nad intervalom $[-8,8]$ pomoću naredbe plot(). Neka veličina slike bude 5.
4. Primjenom odgovarajućih opcija uredite sliku tako da je omjer jedinica na osima $y$ i $x$ jednak 1/6, imenujte osi $x$ i $y$, a graf neka bude crvene boje, nacrtan točkasto.
   

5. zadatak

Na istoj slici nacrtajte grafove funkcija $\sin\!x$, $\sin\frac{x}{2}$ i $\sin2x$ nad intervalom $[0,2\pi]$. Obojite ih redom crveno, plavo i zeleno. Nacrtajte iste grafove na novoj slici tako da se osi ne prikazuju.

Polinomi

6. zadatak

Simbolički izraz $\mathtt{ex} = 3x^5-4x^3+3$ (iz zadatka br. 2) transformirajte tako da Sage zna da je to polinom nad skupom realnih brojeva. Polinom potom rastavite na faktore. Nakon toga konvertirajte $\mathtt{ex}$ u polinom nad skupom kompleksnih brojeva te ga rastavite na faktore.

7. zadatak

Definirajte dva simbolička izraza:

• $\mathtt{ex1} = t^3-t^2-t-2$
• $\mathtt{ex2} = t^4+t^3-4t-16$

pa ih pretvorite u polinome $\mathtt{pol1}$ i $\mathtt{pol2}$ nad skupom realnih brojeva.

Zatim:

1. izračunajte vrijednost polinoma $\mathtt{poli1}$ u točki $t=2,\!5$,
2. odredite zbroj i umnožak polinoma  $\mathtt{poli1}$  i $\mathtt{poli2}$,
3. izračunajte kvocijent i ostatak dijeljena polinoma $\mathtt{poli2}$ polinomom $\mathtt{poli1}$,
4. rastavite polinom $\mathtt{poli2}$ na faktore (nad skupom realnih brojeva) pa dobivene faktore pomnožite (razvijte izraz dobiven faktorizacijom),
5. nacrtajte graf polinoma $\mathtt{poli2}$ za $t \in [-2,\!1;\, 2,\!1]$.

• definiranje simboličkih izraza

• pretvaranje simboličkih izraza u polinome

• računanje s polinomima

• faktoriziranje i razvoj

• crtanje grafa

4. zadatak za zadaću

Definirajte dva izraza

• $\mathtt{ex1} = v^4-1$
• $\mathtt{ex2} = v^6+9v^4-v^2-9$

pa ih pretvorite u polinome $\mathtt{poli1}$ i $\mathtt{poli2}$ nad skupom realnih brojeva. Zatim:

1. izračunajte vrijednost polinoma $\mathtt{poli1}$ u točki $v=-1$,
2. odredite zbroj i umnožak polinoma $\mathtt{poli1}$ i $\mathtt{poli2}$,
3. izračunajte kvocijent i ostatak dijeljena polinoma $\mathtt{poli2}$ polinomom $\mathtt{poli1}$,
4. polinom $\mathtt{poli2}$ rastavite na faktore (nad skupom realnih brojeva) pa dobivene faktore pomnožite (razvijte izraz dobiven faktorizacijom),
5. izraz $\mathtt{ex2}$ pretvorite u polinom $\mathtt{poli3}$ nad kompleksnim brojevima pa ga faktorizirajte,
6. nacrtajte graf polinoma $\mathtt{poli2}$ za $v \in [-1,\!1;\, 1,\!1]$.