(„Lijepi” ispis svih rezultata, bez poziva funkcije show(), možete dobiti tako da na vrhu radnog lista označite kvadratić kraj riječi Typeset.)
Izrazi, funkcije, polinomi i njihovi grafovi
Simbolički izrazi
1. zadatak
Definirajte simbolički izraz ex1=3x3+18x2+9x−30 pa zatim
Definicija i račun za x=2:
|
|
|
Faktorizacija i razvoj:
|
|
Zamjena x sa x^2+1, razvoj i faktorizacija:
|
|
|
2. zadatak
Sage ne rastavlja svaki simbolički izraz koji je polinom na faktore. Pokušajte, na primjer, izraz \mathtt{ex} = 3x^5-4x^3+3 rastaviti na faktore. U dijelu posvećenom polinomina, u ovom radnom listu, bit će prikazano kako se ovakav izraz ipak može rastaviti.
|
3. zadatak
Definirajte simbolički izraz \displaystyle \mathtt{ex} = \sin (x + \frac{n\pi}{2}) pa zatim
Definiranje izraza:
|
Pojednostavnjenje pomoću .expand_trig() i zamjena x s 0:
|
|
Račun za parne n:
|
|
Za neparni n izraz \displaystyle \sin\frac{n\pi}{2} je jednak +1 ili -1 i to prema sljedećem pravilu: neka je n=2k+1; tada je
\displaystyle \sin\frac{(2k+1)\pi}{2} = \left\{ \begin{array}{rcl} 1& \mathrm{za} & k \;\; \mathrm{paran}\;\; \mathrm{ili}\;\; 0 \\ -1& \mathrm{za} & k \;\; \mathrm{neparan} \end{array} \right.
Takav rezultat Sage ne zna zapisati:
|
Pojedinačne vrijednosti za n daju ispravan rezultat:
|
|
|
Naravno, zadatak možemo riješiti i tako da \displaystyle \sin\frac{n\pi}{2} napišemo u obliku \displaystyle \sin\frac{(2k+1)\pi}{2}, pa taj izraz pojednostavnimo uz odgovarajuće pretpostavke o k:
|
|
|
1. zadatak za zadaću
Neka je \mathtt{ex} = 2x^5 - 4x^4 - 2x + 4.
|
2. zadatak za zadaću
Neka je \mathtt{ex} = \ln(e\cdot x)+ \mathrm{tg}(x-1+n\cdot \pi\cdot x).
|
Definicija funkcije i graf funkcije
Funkcija plot()
Eksplicitno zadana krivulja je krivulja zadana izrazom oblika y=f(x).
Crtanje eksplicitno zadanih krivulja u ravnini izvodi se funkcijom plot(). Oblik poziva je
plot (funkcija, (varijabla, donja_granica, gornja_granica), opcije...)
ili
plot (funkcija, donja_granica_varijable, gornja_granica_varijable, opcije...)
Najvažnije su opcije:
4. zadatak
|
|
|
|
|
3. zadatak za zadaću
|
5. zadatak
Na istoj slici nacrtajte grafove funkcija \sin\!x, \sin\frac{x}{2} i \sin2x nad intervalom [0,2\pi]. Obojite ih redom crveno, plavo i zeleno. Nacrtajte iste grafove na novoj slici tako da se osi ne prikazuju.
|
|
|
Polinomi
6. zadatak
Simbolički izraz \mathtt{ex} = 3x^5-4x^3+3 (iz zadatka br. 2) transformirajte tako da Sage zna da je to polinom nad skupom realnih brojeva. Polinom potom rastavite na faktore. Nakon toga konvertirajte \mathtt{ex} u polinom nad skupom kompleksnih brojeva te ga rastavite na faktore.
|
|
|
|
|
7. zadatak
Definirajte dva simbolička izraza:
pa ih pretvorite u polinome \mathtt{pol1} i \mathtt{pol2} nad skupom realnih brojeva.
Zatim:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. zadatak za zadaću
Definirajte dva izraza
pa ih pretvorite u polinome \mathtt{poli1} i \mathtt{poli2} nad skupom realnih brojeva. Zatim:
|