[Napomene o programskom kôdu u Sage-u:
Tekst poput ovoga, pisan slovima sans serif (bez vitica), odnosi se ponajprije na programski kôd.
Ćelije u kojima je prvi redak %auto ne trebate izvoditi ( evaluate ); one se izvode „same” pri otvaranju radnoga lista.
Funkcije, programska realizacija kojih nije bitna za razumijevanje gradiva Mehanike 1., „skrivene” su, a opisan je samo način njihova pozivanja.]
|
Funkcije koje smo definirali u radnim listovima Mehanika_1-01_Sila i Mehanika_1-02_Moment uvedene su u i ovaj radni list.
Mehanika 1.
Statička ekvivalencija
[Natuknice možete naći i u datoteci Statička ekvivalencija u Bilješkama i skicama s predavanja iz Mehanike 1.]
Na prošlom smo predavanju uveli uvjete ravnoteže tijela na koje djeluju koncentrirane sile {→Fi}n−1i=0 i koncentrirani momenti {→Mi}m−1j=0:
1. iščezavanje zbroja svih sila:
vektorski oblik:
n−1∑i=0→Fi=→0
skalarni oblik:
n−1∑i=0Fi,x=0
n−1∑i=0Fi,y=0
n−1∑i=0Fi,z=0
2. iščezavanje zbroja momenata svih sila u odnosu na bilo koju točku (odabrali smo ishodište) i svih koncentriranih momenata:
vektorski oblik:
n−1∑i=0→rFi/O×→Fi+m∑j=0→Mj=→0
skalarni oblik:
n−1∑i=0(yiFi,z−ziFi,y)+m−1∑j=0Mj,x=0
n−1∑i=0(−xiFi,z+ziFi,x)+m−1∑j=0Mj,y=0
n−1∑i=0(xiFi,y−yiFi,x)+m−1∑j=0Mj,z=0
Dva su sistema sila i koncentriranih momenata statički ekvivalentna ako su njihovi doprinosi uvjetima ravnoteže jednaki.
Primjer 1.:
Paralelni pomak sile ili redukcija sile na točku
Izračunat ćemo djelovanje sile →F=−4→ı+3→ȷ−2→k, s hvatištem u ishodištu, na točku A=(53,73,2). (Točka A ne leži na pravcu djelovanja sile →F.)
|
![]() ![]() |
![]() ![]() |
|
(32/3, 14/3, -43/3) (32/3, 14/3, -43/3) |
|
|
True True |
Rezultirajuće djelovanje sistema sila {→Fi}n−1i=0 i koncentriranih momenata {→Mi}m−1j=0 u odnosu na točku A (ili dinama u točki A)
Svaki se sistem sila i koncentriranih momenata može na bezbrojno mnogo načina zamijeniti statički ekvivalentnim sistemom koji sadrži jednu silu i jedan moment; u posebnim slučajevima mogu iščeznuti ili sila ili moment ili i sila i moment. Samo jedno rješenje dobiva se odabere li se točka kojom zamjenjujuća sila prolazi i u odnosu na koju se izračunavaju momenti sila zadanoga sistema.
U općem je slučaju sistem s jednom silom i jednim momentom najjednostavniji statički ekvivalentan sistem na koji se zadani sistem sila i momenata može svesti. Takav sistem nazivamo rezultirajućim djelovanjem u odnosu na odabranu točku A, silu koju sadrži rezultirajućom silom, a moment rezultirajućim momentom.
Rezultirajuća sila ili glavni vektor sila zbroj je svih sila zadanoga sistema:
→FR/A=n−1∑i=0→Fi=→FR;
uzima se da je njezino hvatište točka A.
Rezultirajući moment u odnosu na točku A ili glavni vektor momenata zbroj je momenata svih sila zadanoga sistema u odnosu na tu točku i svih zadanih koncentriranih momenata:
→MR/A=n−1∑i=0→rFi/A×→Fi+m−1∑j=0→Mj
Primjer 1.: (nastavak)
Djelovanje sile →F na točku A izračunat ćemo sada prema definiciji rezultirajućega djelovanja:
(-4, 3, -2) (-4, 3, -2) |
→rF/A=→rO/A
(-5/3, -7/3, -2) (-5/3, -7/3, -2) |
(32/3, 14/3, -43/3) (32/3, 14/3, -43/3) |
|
Primjer 1.: (još jedan nastavak, s važnim zaključkom)
Neka je B točka na pravcu koji točkom A prolazi paralelno s pravcem djelovanja sile →F, primjerice B=(−1,133,23). Izračunat ćemo djelovanje sile →F (s hvatištem u ishodištu) na točku B.
|
|
(-4, 3, -2) (-4, 3, -2) |
(1, -13/3, -2/3) (1, -13/3, -2/3) |
(32/3, 14/3, -43/3) (32/3, 14/3, -43/3) |
|
True True |
|
Zaključak: djelovanje je sile →F na sve točke pravca paralelnoga s pravcem njezina djelovanja jednako.
Primjer, naravno, nije dokaz, pa slijedi i formalni dokaz:
→MF/B=→rF/B×→F=(→rA/B+→rF/A)×→F=→rA/B×→F⏟=→0+→rF/A×→F=→rF/A×→F=→MF/A
[Zašto je →rA/B×→F=→0?]
Primjer 2.:
Sila →F0=95→ı djeluje u točki C0=(14,14,−56), a sila →F1=135→ȷ+57→k u točki C1=(−1,0,78). (Pravci djelovanja sila →F0 i →F1 su mimosmjerni. Točka A leži na pravcu djelovanja sile →F0.) Zadan je i koncentrirani moment →M0=−74→ı+175→ȷ+34→k.
Izračunat ćemo rezultirajuće djelovanje sistema {→F0,→F1,→M0} u odnosu na točku A=(−12,14,−56).
|
|
→FR/A=→FR=n−1∑i=0→Fi=→F0+→F1
(9/5, 13/5, 5/7) (9/5, 13/5, 5/7) |
→rF0/A=→rC0/A i →rF1/A=→rC1/A
(3/4, 0, 0) (-1/2, -1/4, 41/24) (3/4, 0, 0) (-1/2, -1/4, 41/24) |
|
→MF0/A=→0 [zašto?]
(0, 0, 0) (0, 0, 0) |
→MF1/A=→rF1/A×→F1
(-3881/840, 5/14, -13/10) (-3881/840, 5/14, -13/10) |
→MR/A=n−1∑i=0→MFi/A+m−1∑j=0→Mj=→MF0/A+→MF1/A+→M0
(-4931/840, 291/70, -1/20) (-4931/840, 291/70, -1/20) |
|
Rezultirajuću silu i rezultirajući moment možemo i „grafički” konstruirati:
|
|
|
|
Iako i rezultirajuću silu i rezultirajući moment prikazujemo vektorima, ta dva vektora ne možemo zbrojiti.
Rezultirajuće djelovanje u odnosu na (neku drugu) točku B
Ako je poznato rezultirajuće djelovanje sistema sila i momenata u odnosu na točku A, onda se rezultirajuće djelovanje u odnosu na točki B može izračunati prema sljedećim izrazima:
→FR/B=→FR/A,
→MR/B=→rA/B×→FR+→MR/A.
Izraz za rezultirajuću silu slijedi neposredno iz njezine definicije,
→FR/B=n−1∑i=0→Fi=→FR=→FR/A,
dok je izvod izraza za rezultirajući moment nešto složeniji. Provest ćemo ga uz primjer (ali će svi izrazi u izvodu biti opći).
Primjer 2. (nastavak):
Izračunat ćemo rezultirajuće djelovanje sistema {→F0,→F1,→M0} u odnosu na točku B=(−25,6943,0).
|
|
→FR/B=→FR=n−1∑i=0→Fi=→F0+→F1
(9/5, 13/5, 5/7) (9/5, 13/5, 5/7) |
True True |
I u izvodu izraza za rezultirajući moment u odnosu na točku B polazimo od njegove definicije:
→MR/B=n−1∑i=0→rFi/B×→Fi+m−1∑j=0→Mj.
(13/20, -233/172, -5/6) (-3/5, -69/43, 7/8) (13/20, -233/172, -5/6) (-3/5, -69/43, 7/8) |
|
Položajni vektor →rFi/B sile →Fi u odnosu na točku B možemo izraziti kao zbroj položajnoga vektora →rA/B točke A u odnosu na točku B i položajnoga vektora →rFi/A sile →Fi u odnosu na točku A, →rFi/B=→rA/B+→rFi/A.
|
True True |
True True |
|
Izraz za rezultirajući moment u odnosu na točku B sada je
→MR/B=n−1∑i=0(→rA/B+→rFi/A)×→Fi+m−1∑j=0→Mj.
Primjena zakona distributivnosti za vektorski produkt u prvome pribrojniku daje
→MR/B=n−1∑i=0→rA/B×→Fi+n−1∑i=0→rFi/A×→Fi+m−1∑j=0→Mj.
Uz još jednu je primjenu zakona distributivnosti u novodobivenu prvom pribrojniku
→MR/B=→rA/B×n−1∑i=0→Fi⏟→FR+n−1∑i=0→rFi/A×→Fi+m−1∑j=0→Mj⏟→MR/A.
|
|
Konačni je izraz za rezultirajući moment u odnosu na točku B:
→MR/B=→rA/B×→FR+→MR/A.
|
|
|
|
Rezultirajuće djelovanja u točki B izračunat ćemo i neposredno (prema definiciji):
|
→FR/B=→FR=n−1∑i=0→Fi=→F0+→F1
(9/5, 13/5, 5/7) (9/5, 13/5, 5/7) |
→MR/B=n−1∑i=0→MFi/B+m−1∑j=0→Mj=→MF0/B+→MF1/B+→M0
(13/20, -233/172, -5/6) (-3/5, -69/43, 7/8) (13/20, -233/172, -5/6) (-3/5, -69/43, 7/8) |
|
(0, -3/2, 2097/860) (-41191/12040, 3/7, -39/25) (0, -3/2, 2097/860) (-41191/12040, 3/7, -39/25) |
(-56241/12040, 191/70, 2288/1075) (-56241/12040, 191/70, 2288/1075) |
|
|
|
Iz zaključka još jednoga nastavka primjera 1. slijedi da je rezultirajuće djelovanje na sve točke pravca paralelnoga s pravcem djelovanja rezultirajuće sile jednako.
Invarijante sistema sila i koncentriranih momenata
Invarijanta je matematička ili fizička karakteristika nekog matematičkog pojma ili fizičke pojave, čija veličina ne ovisi o izboru koordinatnoga ili, općenitije, referentnog sustava u kojemu je određena.
Invarijante sistema sila i koncentriranih momenata veličine su koje ne ovise o izboru točke u odnosu na koju je izračunano njegovo rezultirajuće djelovanje.
Prva je invarijanta rezultirajuća sila sistema:
→FR=n−1∑i=0→Fi=→FR/A=→FR/B=…
Neka je →MR/T rezultirajući moment sistema u odnosu na neku, bilo koju točku T. Druga je invarijanta ortogonalna projekcija →MR momenta →MR/T na bilo koju os o paralelnu s pravcem djelovanja sile →FR:
→MR=(→MR/T⋅→eo)→eo=(→MR/A⋅→eo)→eo=(→MR/B⋅→eo)→eo=…,→eo=→eR=→FR‖.
Dokaz invarijantnosti vektora \vec{M}_R neposredno slijedi iz ranije izvedenoga izraza
\vec{M}_{R/B} \:=\: \vec{r}_{A/B}\times\vec{F}_R \,+\, \vec{M}_{R/A}
i činjenice da su vektori \vec{r}_{A/B}\times\vec{F}_R i \vec{F}_R međusobno okomiti (ako \vec{r}_{A/B}\times\vec{F}_R \ne \vec{0}): vektori \vec{M}_{R/A} i \vec{M}_{R/B} za bilo koje dvije točke A i B razlikuju se stoga za vektor koji je okomit na pravac djelovanja sile \vec{F}_R, pa njegova ortogonalna projekcija na os paralelnu s tim pravcem iščezava.
Lako je vidjeti da je \vec{M}_{R} rezultirajući moment najmanjega intenziteta koji se može pojaviti.
Primjer 2. (još jedan nastavak):
Provjerit ćemo je li \big(\vec{M}_{R/A}\cdot\vec{e}_R\big)\,\vec{e}_R \:=\: \big(\vec{M}_{R/B}\cdot\vec{e}_R\big)\,\vec{e}_R.
(63/2575*sqrt(515), 91/2575*sqrt(515), 1/103*sqrt(515)) (63/2575*sqrt(515), 91/2575*sqrt(515), 1/103*sqrt(515)) |
(18207/515000, 26299/515000, 289/20600) (18207/515000, 26299/515000, 289/20600) |
(18207/515000, 26299/515000, 289/20600) (18207/515000, 26299/515000, 289/20600) |
True True |
U stvari, dovoljno je provjeriti jesu li vrijednosti projekcija jednake — je li \vec{M}_{R/A}\cdot\vec{e}_R \:=\: \vec{M}_{R/B}\cdot\vec{e}_R.
289/103000*sqrt(515) 289/103000*sqrt(515) 289/103000*sqrt(515) 289/103000*sqrt(515) |
True True |
Centralna os \mathit\& dinamički vijak
Centralna os je pravac za sve točke C_\xi kojega vrijedi da su pripadni rezultirajući momenti \vec{M}_{R/C_\xi} paralelni s rezultirajućom silom \vec{F}_R. Centralna os postoji samo ako je \vec{F}_R \ne \vec{0}.
Centralna je os paralelna s pravcem djelovanja rezultirajuće sile \vec{F}_R [dokažite!].
Neka je \vec{M}_{R/T} rezultirajući moment sistema u odnosu na bilo koju točku T i neka je \vec{M}_R je ortogonalna projekcija momenta \vec{M}_{R/T} na bilo koju os o paralelnu s pravcem djelovanja sile \vec{F}_R,
\vec{M}_R \:=\: \big(\vec{M}_{R/T}\cdot\vec{e}_R\big)\,\vec{e}_R.
Dokažite da su svi \vec{M}_{R/C_\xi} jednaki \vec{M}_{R}!
Ako se centralna os uzme za pravac djelovanja sile \vec{F}_R, rezultirajuće se djelovanje naziva dinamičkim vijkom.
Polje rezultirajućih djelovanja u točkama ravnine okomite na centralnu os:
|
|
Prostorno polje rezultirajućih momenata:
|
Opis općega linearnoalgebarskog postupka određivanja položaja centralne možete naći u udžbeniku Heinricha Wernera Mehanika I. Statika, a osnovne izraze i u datoteci Statička ekvivalencija. Ovdje ćemo prikazati tek dva jednostavnija primjera.
Primjer 3.:
Sila \vec{F}_0 = \vec{\jmath} djeluje u ishodištu, a sila \vec{F}_1 = \vec{\imath} u točki A = (0, 0, 1). Odredit ćemo pripadni dinamički vijak.
|
|
(5, 0, 0) (-5, 0, 0) (5, 0, 0) (-5, 0, 0) |
|
|
(5, 5, 0) (5, 5, 0) |
|
(0, 0, 5) (0, 25, 0) (0, 0, 5) (0, 25, 0) |
|
|
|
|
0 0 |
|
izraze
\vec{r}_{X/O}\times\vec{F}_R = \vec{M}{}_1^{\perp} ili \vec{r}_{X/O}\times\vec{F}_R - \vec{M}{}_1^{\perp} = \vec{0}
možemo smatriti sustavom koji sadrži tri jednadžbe s tri nepoznanice — komponente vektora \vec{r}_{X/O}, odnosno, koordinate tražene točke ...
(x, y, z) (x, y, z) |
|
|
|
(5, 5, 0) (-5, -5, 0) (5, 5, 0) (-5, -5, 0) |
True True |
|
|
(5, 5, 0) (5, 5, 0) |
|
(25/2, 25/2, 0) (25/2, 25/2, 0) |
|
|
Pogodno je uzeti da je uz rezultirajuću silu \vec{F}_{R} na centralnoj osi i rezultirajući moment \vec{M}_{R}.
Primjer 4.:
Sila \vec{F}_0 = \vec{\imath} djeluje u točki A_0 = \big(\!\frac{5}{4}, 0, 0\big), \vec{F}_1 = 2\,\vec{\jmath} u točki A_1 = \big(0, \frac{9}{4}, 0\big), a sila \vec{F}_2 = 2\,\vec{k} u točki A_2 = \big(\!\frac{9}{8}, \frac{9}{4}, 0\big). Odredit ćemo njihov dinamički vijak. [Priču koja prati/opisuje slike ispričajte sami!]
|
|
|
(9/8, 9/4, 0) (9/8, 9/4, 0) |
(9/2, -9/4, 0) (9/2, -9/4, 0) |
|
(1, 2, 2) (1, 2, 2) |
(9/2, -9/4, 0) (9/2, -9/4, 0) |
|
(0, 0, 0) (0, 0, 0) |
(9/2, -9/4, 0) (9/2, -9/4, 0) |
|
|
|
{r2} r2 {r2} r2 |
|
|
|
|
|
Rezultanta
Ako rezultirajući moment dinamičkoga vijka iščezava, rezultirajuća se sila naziva rezultantom. Rezultanta je, dakle, sila koja je sama statički ekvivalentna zadanom sistemu sila i koncentriranih momenata.
Pravac djelovanja rezultante je centralna os.
U primjeru 4. je \vec{M}_{R} = \vec{M}{}^{\|}_{R/O} = \vec{0}. Slijedi da je \vec{M}_{R/O} = \vec{M}{}^\perp_{R/O}, a to znači da je \vec{M}_{R/O} \,\perp\, \vec{F}_R.
True True |
Rezultanta, prema tome, postoji ako je \vec{M}_{R/T} \perp \vec{F}_R za neku točku T izvan centralne osi.
Polje rezultirajućih djelovanja u točkama ravnine okomite na centralnu os ako je \vec{M}_{R} = \vec{0}:
|
Primjer 4. (nastavak):
Drugi način određivanja rezultante — bez uvođenja rezultirajućega momenta. [I sada opis slika možete ispričati sami.]
|
|
|
|
|
(1, 2, 2) (1, 2, 2) |
|
|
|