Mehanika_1-01_Sila_(v0.8)

Mehanika 1.

Stranica predmeta na Merlinu (obavijesti, primjeri kolokvija i ispita)

Bilješke i skice s predavanja

Udžbenik: 

Heinrich Werner: Mehanika I – Statika, Hrvatski savez građevinskih inženjera, Zagreb, 2007. (prikaz knjige)

[Napomene o programskom kôdu u SageMath-u:

Tekst poput ovoga, pisan slovima sans serif (bez vitica), odnosi se ponajprije na programski kôd.

Ćelije u kojima je prvi redak %auto ne trebate izvoditi ( evaluate ); one se izvode „same” pri otvaranju radnoga lista. 

Funkcije, programska realizacija kojih nije bitna za razumijevanje gradiva Mehanike 1., „skrivene” su, a opisan je samo način njihova pozivanja.]

Mehanika

Mehanika je znanost o općim zakonima ravnoteže i gibanjâ tijelâ izloženih djelovanju sila.

Klasična mehanika može se podijeliti

• prema obilježjima zadaća koje se proučavaju i rješavaju na
  
  • kinematiku ili geometriju gibanjâ (neovisno o njihovim uzrocima) i na
  • dinamiku, koja se bavi utjecajem djelovanja sila, a dalje se dijeli na
    
    • statiku, središnji pojam koje je ravnoteža, odnosno „mirovanje” uz djelovanje sila, te na
    • kinetiku, počela koje su sile kao uzroci promjena gibanjâ i tromosti masa koje teže održanju nepromijenjenog i nepromjenjivog stanja;
• prema geometrijskim i materijalnim svojstvima predmeta proučavanja na
  
  • mehaniku materijalne točke i sistema materijalnih točaka,
  • mehaniku krutih tijela i njihovih sistema,
  • mehaniku deformabilnih tijela i njihovih sistema te
  • mehaniku fluida (tekućina i plinova).

(Iako je navedena podjela prema obilježjima proučavanih zadaća prirodna (jer značenje je grčke riječi dýnamis [$\delta\acute{\upsilon}\nu\alpha\mu\iota\varsigma$] sila), danas je uvriježenija podjela mehanike na statiku, u koju vas uvodi Mehanika 1., te kinematiku i dinamiku (a sadržajno tek kinetiku; kao da u statici nema sila), s kojima ćete se upoznati u Mehanici 2.)

Realno čvrsto tijelo (tijelo u čvrstom agregatnom stanju) skup je čestica međusobne udaljenosti kojih se bitno ne mijenjaju pri djelovanju sila i drugih utjecaja (poput topline). Čvrsta se tijela modeliraju kao

• (materijalne) točke,
• (apsolutno) kruta tijela udaljenosti točaka kojih se zaista ne mijenjaju  te
• defomarbilna tijela koja mijenjaju oblik (ipak, u granicama prepoznatljivosti).

(Model je umjetna—fizička ili matematička—tvorevina izrađena kao zamjena za izdvojeni složeni isječak stvarnosti. Modeli se oblikuju nizovima apstrakcija i idealizacija. Model nema sva svojstva onoga što predočava, nego je tek aproksimacija stanja, građe ili ponašanja predočenoga.)

Statika je grana mehanike u kojoj se proučava ravnoteža tijelâ, što znači da se istražuju djelovanja sila na tijela koja miruju (u odnosu na referentni inercijalni koordinatni sustav) i koja pod djelovanjem sila ostaju u stanju mirovanja. (U Mehanici 1. ograničit ćemo se na materijalne točke i na kruta tijela te na sisteme točaka i krutih tijela; deformabilnim tijelima bavit ćete se sljedećih godina u Otpornostima materijala i Građevnim statikama, a tekućinama u Mehanici tekućina.)

Pojam sile

[Natuknice možete naći i u datoteci  Pojam sile  u  Bilješkama i skicama s predavanja]

Sila je fizikalna veličina kojom se opisuje uzajamno djelovanje tijelâ. Pod silom se, prema Lagrangeu [Analitička mehanika, 1788.] „razumije općenito uzrok, bez obzira na njegovu vrstu, koji priopćava ili teži priopćiti gibanje tijelima na koja djeluje; štoviše, priopćena količina gibanja, ili količina gibanja koja se može priopćiti, ono je čime silu treba prikazati. U stanju ravnoteže sila nema stvaran učinak; ona samo namiče težnju gibanju; ipak, uvijek se može mjeriti učinkom koji bi stvorila kad ne bi bila zapriječena.”

Sile se dijele

• prema dosegu na
  
  • sile kratkoga dosega, koje djeluju na „dodirnoj” površini, stvarnoj ili zamišljenoj, poput kontaktnih sila između dvaju tijela ili unutarnjih sila (u čvrstom tijelu), 
  • sile dalekoga dosega, koje djeluju na cijelo tijelo, poput gravitacijskih, električnih ili magnetskih;
• prema području djelovanja na
  
  • distribuirane ili raspodijeljene (linijske, plošne, zapreminske) te
  • koncentrirane;
• prema smislu djelovanja na
  
  • privlačne ili vlačne ili sile zatezanja,
  • odbojne ili tlačne ili sile pritiska.

Sile kratkoga dosega su plošne, a sile dalekog dosega zapreminske; koncentrirane i raspodijeljene linijske sile korisna su idealizacija.

Koncentrirana sila je sila koja djeluje u točki, a ima pravac i smisao djelovanja (ili orijentaciju) te intenzitet. Intenzitet sile je, po definiciji, kao i duljina dužine, pozitivna veličina. Ako je na pravcu njezina djelovanja dogovorno utvrđena pozitivna orijentacija, smisao djelovanja sile možemo s pomoću predznaka priključiti intenzitetu pa ćemo govoriti o vrijednosti sile: sila, kojoj je smisao djelovanja suprotan od pozitivnoga, imat će negativnu vrijednost. Točka, u kojoj sila djeluje, naziva se njezinim hvatištem.

Prema drugom Newtonovu zakonu, djeluje li na nepomično tijelo jedna sila, ono će se početi gibati po pravcu i u smislu djelovanja te sile. Djeluje li na tijelo više sila, ta se djelovanja mogu međusobno poništiti, pa će tijelo ostati nepomičnim — za statiku, prema tome, jedna sila nije dovoljna. Za sistem sila, koje djeluju na tijelo tako da ono ostaje u stanju mirovanja (u odnosu na neki inercijalni sustav), kažemo da je uravnotežen.

Za iskaz uvjetâ ravnoteže treba objasniti što znači izraz „poništavanje djelovanja sila”, a za to pak treba uvesti postupak sastavljanja sila (na ovom predavanju) i pojam momenta sile (na sljedećem predavanju).

Zbrajanje sila

Godine 1608. Simon Stevin je u dodatku knjige Počela umijeća vaganja, naslovljenom O užadi koja nosi terete, uveo pravilo paralelograma sila i, potom, pravilo trokuta sila, kao osnove postupka rastavljanja sile u dvije komponente na zadanim pravcima koji prolaze njezinim hvatištem, pri čemu ta dva pravca i pravac djelovanja sile leže u jednoj ravnini.

Sila u užetu GF, intenzitet koje je jednak težini obješenoga tereta i proporcionalan duljini dužine CI, može se zamijeniti silama u užadi CD i CE; intezitet sile u užetu CD proporcionalan je duljini dužine CH, dobivene povlačenjem pravca paralelnog užetu CE kroz točku I.

Dakle, silu $\vec{F}$ grafički rastavljamo u komponente $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$ na dvama različitim pravcima kroz njezino hvatište (rep strelice kojom smo prikazali silu $\vec{F}$) tako da njezinim šiljkom povučemo pravce usporedne zadanim pravcima, pa su sile $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$ dvije susjedne stranice paralelograma čija je dijagonala $\vec{F}$. Zadaća je rješiva samo ako sila koju rastavljamo i pravci njezinih komponenata leže u istoj ravnini; postoji li rješenje, ono je samo jedno.

Može se reći i da je, obratno, sila $\vec{F}$ nastala sastavljanjem ili zbrajanjem sila $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$ koje djeluju u istoj točki,

$$\vec{F} \,=\, \vec{F}_1 + \vec{F}_2;$$

rezultanta $\vec{F}$ silâ $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$ dijagonala je paralelograma razapetoga silama $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$. Zadaća zbrajanja dviju sila koje imaju isto hvatište uvijek je rješiva, a dobivena rezultanta leži, jasno je, u ravnini koju razapinju pravci djelovanja tih sila. 

Pravilo paralelograma vrijedi i za sastavljanje ili za rastavljanje drugih fizikalnih veličina odredenih intenzitetom, pravcem i smislom, poput pomaka, brzine i ubrzanja. Zajednička svojstva tih veličina obuhvaćena su u apstraktnom matematičkom pojmu vektora (MPZI_predavanje_05).

Budući da su duljine usporednih stranica paralelograma jednake, umjesto paralelograma može se konstruirati trokut. Pritom se, međutim, jedna sila „pomiče” s pravca svoga djelovanja na paralelni pravac, pa se položajni odnosi sila više ne mogu očitati iz crteža. 

Usporedba lijeve i desne polovine paralelograma sila s trokutima sila pokazuje da je zbrajanje sila komutativno:

$$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 \,=\, \vec{F}_2 + \vec{F}_1.$$

Djeluju li u istom hvatištu tri sile $\vec{F}_1,\:\vec{F}_2$ i $\vec{F}_3$, njihovu rezultantu možemo naći tako da opisanim postupkom zbrojimo sile $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$,  $\vec{F}_{1,2} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$, te da potom zbrojimo dobivenu silu $\vec{F}_{1,2}$ i silu $\vec{F}_3$:

$$\vec{F} \,=\, (\vec{F}_{1} + \vec{F}_2) + \vec{F}_3 \,=\, \vec{F}_{1,2} + \vec{F}_3.$$

Pokazat ćemo kasnije da ćemo istu rezultantu $\vec{F}$ dobiti ako prvo zbrojimo sile $\vec{F}_2$ i $\vec{F}_3$, a potom njihov zbroj $\vec{F}_{2,3}$ pribrojimo sili $\vec{F}_1$:

$$\vec{F} \,=\, \vec{F}_{1} + (\vec{F}_2 + \vec{F}_3) \,=\, \vec{F}_1 + \vec{F}_{2,3}.$$

Drugim riječima, zbrajanje sila je asocijativno, pa u izrazu za zbroj triju sila zagrade ne moramo pisati:

$$\vec{F} \,=\, \vec{F}_{1} + \vec{F}_2 + \vec{F}_3.$$

Sile $\vec{F}_1,\:\vec{F}_2$ i $\vec{F}_3$ mogu, ali i ne moraju ležati u jednoj ravnini. Ako su u jednoj ravnini, tada je, naravno, i njihova rezultanta u toj ravnini. Ako pak tri sile nisu u jednoj ravnini, njihova je rezultanta prostorna dijagonala paralelepipeda koji razapinju.

Obratno (ali tek djelomice), prolaze li kroz hvatište sile tri pravca koji nisu u istoj ravnini, sila se može rastaviti u komponente na tim pravcima; rastav je samo jedan. Ako su pravci u jednoj ravnini i ako je i sila u toj ravnini, zadaća rastavljanja je rješiva, ali rješenje ima bezbroj; ako pak sila nije u ravnini pravaca, zadaća nije rješiva.

Grafički prikaz zbroja niza sila, koji je poopćenje trokuta sila, naziva se poligonom sila.

Za algebarsko baratanje silama pogodno je rastaviti ih u tri međusobno okomite komponente, usporedne s osima desnoga Kartezijeva ortogonalnog koordinatnog sustava. I obratno, opću je silu pogodno zadati trima komponentama, usporednima s osima koordinatnoga sustava:

$$\vec{F} \,=\, \vec{F}_x + \vec{F}_y + \vec{F}_z.$$

Komponente usporedne s osima zadajemo kao umnoške njihovih vrijednosti i jediničnih vektora $\vec{\imath},\:\vec{\jmath}$ i $\vec{k}$ na osima $x,\,y$ i $z$, 

$$\vec{F}_x \,=\, F_x\,\vec{\imath}, \quad \vec{F}_y \,=\, F_y\,\vec{\jmath} \quad\text{i}\quad \vec{F}_z \,=\, F_z\,\vec{k},$$

pa je

$$\vec{F} \:=\: F_x\,\vec{\imath} \,+\, F_y\,\vec{\jmath} \,+\, F_z\,\vec{k}\,;$$

primjerice,  $\vec{F} \:=\: 2\,\vec{\imath} \,+\,3\,\vec{\jmath} \,+\,\vec{k}$:

(U programskom ćemo kôdu vektore ponajčešće označavati dvostrukim slovom: varijabla FF programska je realizacija sile $\vec{F}$.)

Grafički prikaz:

• silu crtamo pozivom funkcije

f_arrow (ff, tail = (0, 0, 0), scale = 1, color = 'blue', thickness = 1)

• ff — vektor sile
• tail — hvatište sile
• [množenjem vrijednošću scale može se promijeniti duljina prikaza vektora sile (trebat će nam na sljedećim predavanjima)]

• os $z$ može biti orijentirana prema gore ili prema dolje:
  

show_zup (plt, axes = False, axis_length = 1, frame = False, rho = 0)

show_zdown (plt, axes = False, axis_length = 1, frame = False, rho = 0)

• plt — slika
• axes — ako je True, prikazuju se osi koordinatnoga sustava:  $x$ – crveno, $y$ – narančasto, $z$ – žuto
  
• axis_length — duljina osî, ako se prikazuju
• frame — ako je True, prikazuje se „okvir”
  
• rho — kut rotacije prikaza oko osi $z$

Vrijednosti  $F_x,\: F_y$  i  $F_z$  u  $\vec{F} = F_x\,\vec{\imath} + F_y\,\vec{\jmath} + F_z\,\vec{k}$  nazivamo ortogonalnim skalarnim komponentama sile $\vec{F}$ ili, ako je iz konteksta jasno, sažetije, skalarnim komponentama.

Skalarne su komponente sile, uz indeksiranje u SageMath-u:

$F_x = F_{\,0}$,   $F_y = F_{\,1}$,   $F_z = F_{\,2}$

Kako bismo istaknuli njihov vektorski karakter, komponente 

$\vec{F}_x \,=\, F_x\cdot \vec{\imath} \,=\, F_{\,0}\cdot \vec{\imath}$,  

$\vec{F}_y \,=\, F_y\cdot \vec{\jmath} \,=\, F_{\,1}\cdot\vec{\jmath}$   i

$\vec{F}_z \,=\, F_z\cdot \vec{k} \,=\, F_{\,2}\cdot \vec{k}$

sile  $\vec{F} = \vec{F}_x + \vec{F}_y + \vec{F}_z$  nazivamo i njezinim (ortogonalnim) vektorskim komponentama.

Vektorske su komponente sile: 

Još jedan primjer:

„Simboličke” sile upotrebljavat ćemo za prikaze i izvode „općih” izraza:

force (ff = 'F')

• ff — oznaka sile (znak ili niz znakova) 

Svojstva zbrajanja sila pojasnit ćemo, ilustrirati, „dokazati” i dopuniti s pomoću nekoliko primjera.

(Iako su sile koje zbrajamo zadane komponentama (i SageMath, u pozadini, računa s njima), za sada treba zamišljati da se zbrajanje provodi „grafički”, s pomoću paralelograma ili trokuta sila. O komponentama rezultante još ne znamo ništa.)

Primjer 1.:

Komutativnost zbroja sila

• paralelogram sila:

• trokut sila:

• $\vec{F}_{0,1} \,=\, \vec{F}_0 + \vec{F}_1$

• hvatište sile $F_1$ pomiče se u vrh sile $F_0$

• točka u kojoj je vrh vektora sile:

head (ff, tail = (0, 0, 0))

$\diamond$  tail — hvatište sile ff

• promjena redoslijeda sila:  $\vec{F}_{1,0} \,=\, \vec{F}_1 + \vec{F}_0$

• hvatište sile $F_0$ pomiče se u vrh sile $F_1$

• zbrajanje sila je komutativno:   $\vec{F}_0 + \vec{F}_1 \,=\, \vec{F}_1 + \vec{F}_0 \,=\, \vec{F}$

• usporedite sljedeću sliku s ranijim (i ispod nje ponovljenim) prikazom paralelograma sila...

Primjer 2.: 

Paralelepiped sila

• ako tri sile (s istim hvatištem) nisu u jednoj ravnini, njihova je rezultanta prostorna dijagonala paralelepipeda koji te sile razapinju:

Primjer 3.: 

Asocijativnost zbroja sila

• zbrojit ćemo sile $\vec{F}_0$ i $\vec{F}_1$, pa potom njihovu zbroju $\vec{F}_{0,1}$ pribrojiti silu $\vec{F}_2$:

$\vec{F} \:=\: (\vec{F}_0 + \vec{F}_1) \,+\, \vec{F}_2 \:=\: \vec{F}_{0,1} \,+\, \vec{F}_2$

• prikaz pomoću paralelogramâ sila:

• prikaz pomoću poligona sila:

• sili $F_0$ pribrojit ćemo zbroj $F_{1,2}$ sila $F_1$ i $F_2$:

$\vec{F} \:=\: \vec{F}_0 \,+\, (\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \:=\: \vec{F}_0 \,+\, \vec{F}_{1,2}$

• prikaz pomoću paralelogramâ sila:

• prikaz pomoću poligona sila:

• zaključak:  $(\vec{F}_0 + \vec{F}_1) \,+\, \vec{F}_2 \:=\: \vec{F}_0 \,+\, (\vec{F}_1 + \vec{F}_2)$

• budući da vrijedi i zakon komutativnosti, možemo zbrojiti sile $\vec{F}_0$ i $\vec{F}_2$, pa dobivenoj sili $\vec{F}_{0,2}$ pribrojiti silu $\vec{F}_1$  (ili sili $\vec{F}_1$ pribrojiti silu $\vec{F}_{0,2}$):

$\vec{F} \:=\: (\vec{F}_0 + \vec{F}_2) \,+\, \vec{F}_1 \:=\: \vec{F}_{0,2} \,+\, \vec{F}_1 \:=\: \vec{F}_1 \,+\, \vec{F}_{0,2}$

• prikaz pomoću paralelogramâ sila:

• prikaz pomoću poligona sila:

• zaključak:  $(\vec{F}_0 + \vec{F}_2) \,+\, \vec{F}_1 \:=\: \vec{F}_0 \,+\, \vec{F}_1 + \vec{F}_2$

Primjenom svojstava komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja može se pokazati da je rezultanta niza sila sila kojoj su komponente rezultante odgovarajućih komponenata sila niza:

$\vec{R}  \;=\:  \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:\vec{F}_i  \:=\:  \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,x}\,\vec{\imath} \,+\, \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,y}\,\vec{\jmath} \,+\, \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,z}\,\vec{k}  \:=\:  \vec{\imath}\:\displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,x} \,+\, \vec{\jmath}\:\displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,y} \,+\,\vec{k}\:\displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,z}$

Primjer 4.: 

Poligon sila

• redoslijed sila u poligonu sila nije važan (posljedica zakonâ komutativnosti i asocijativnosti):

• polygon_of_forces_plot3d (forces, tail = (0, 0, 0), color = 'blue')

• forces — lista sila
• tail — hvatište prve sile

Poligon sila je zatvoren ako i samo ako zbroj sila iščezava  $\displaystyle\left(\sum_{i=0}^{n-1} \vec{F}_i \,=\, \vec{0} \right)$.

Primjer 4.: 

Poligon sila (nastavak)

• zbroj sila ne iščezava:

$\Rightarrow$  poligon sila nije zatvoren:

• dodat ćemo silu $F_5$:

• sada zbroj sila iščezava:

$\Rightarrow$  poligon sila je zatvoren:

Budući da su vektorske komponente sile međusobno linearno nezavisne,

$\displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:\vec{F}_i \:=\: \vec{0}$        $\Longleftrightarrow$        $\displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,x} \,=\, 0  \quad \mathit{\&} \quad  \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,y} \,=\, 0  \quad \mathit{\&} \quad  \displaystyle\sum_{i = 0}^{n-1} \:F_{i,z} = 0$.

Dakle, zbroj sila iščezava ako i samo ako su sve njegove komponente (skalarne, a time i vektorske) jednake nuli.

Ako zbroj sila koje djeluju na materijalnu točku iščezava, kažemo da je točka u ravnoteži ili da je uravnotežena.

Množenje sile brojem

Pri množenju sile brojem $c$ sve se njezine komponente množe tim brojem:

$c\,\vec{F} \,=\, c\, (F_x\,\vec{\imath} + F_y\,\vec{\jmath} + F_z\,\vec{k}) \,=\, c\,F_x\,\vec{\imath} + c\,F_y\,\vec{\jmath} + c\,F_z\,\vec{k}$.

Ako je $c > 0$, smisao se djelovanja sile ne mijenja:

Ako je $c < 0$, smisao se djelovanja sile mijenja.  Posebno,  $-\vec{F} \,=\, -1\cdot\vec{F} \,=\, -F_x\,\vec{\imath} - F_y\,\vec{\jmath} - F_z\,\vec{k}$:

Oduzimanje sila

Oduzimanje sile $\vec{F}_1$ od sile $\vec{F}_0$ definira se kao zbrajanje sila $\vec{F}_0$ i $-\vec{F}_1$:

$\vec{F}_0 - \vec{F}_1 \,=\, \vec{F}_0 + (-\vec{F}_1)$

Još neka svojstva sila

Intenzitet sile je „duljina” (euklidska norma) vektora sile:  

$\|\vec{F}\,\| \,=\, |F| \,=\, \sqrt{F_x^2 + F_y^2 +  F_z^2} \,=\, \displaystyle\sqrt{\sum_{i=0}^2 F_i^2} \,=\, \displaystyle\sqrt{\sum_{i=0}^2 F_i\cdot F_i} \,=\, \sqrt{\vec{F}\cdot\vec{F}}$

Intenzitet sile pomnožene brojem dan je izrazom  $\|c\, \vec{F}\| \,=\, |c|\, \|\vec{F}\|$:

Jedinična sila na pravcu i u smislu djelovanja sile $\vec{F}$ dobiva se množenjem sile recipročnom vrijednošću njezina intenziteta:

$\vec{f}_{\!0} \,=\, \dfrac{1}{\|\vec{F}\,\|}\,\vec{F} \,=\, \dfrac{\vec{F}}{\|\vec{F}\,\|} \,=\, \dfrac{F_x\,\vec{\imath} + F_y\,\vec{\jmath} + F_z\,\vec{k}}{\|\vec{F}\,\|} \,=\, \dfrac{F_x}{\|\vec{F}\,\|} \vec{\imath} + \dfrac{F_y}{\|\vec{F}\,\|} \vec{\jmath} + \dfrac{F_z}{\|\vec{F}\,\|} \vec{k} \,=\, f_{0,x}\,\vec{\imath} + f_{0,y}\,\vec{\jmath} + f_{0,z}\,\vec{k}$

Zadavanje sile pomoću vrijednosti i jediničnoga vektora na pravcu njezina djelovanja: 

$\vec{F} \,=\, F\:\vec{e}_0 \,=\, F\:(e_{0,x}\,\vec{\imath} + e_{0,y}\,\vec{\jmath} + e_{0,z}\,\vec{k}) \,=\, F\,e_{0,x}\,\vec{\imath} + F\,e_{0,y}\,\vec{\jmath} + F\,e_{0,z}\,\vec{k}$

• ako je vrijednost sile pozitivna, smisao je njezina djelovanja jednak smislu jediničnoga vektora:

• ako je vrijednost sile negativna, smisao je njezina djelovanja suprotan smislu jediničnoga vektora:

• ali, kako je intenzitet sile pozitivan broj, ako je $F < 0$, intenzitet je $|F|$:

• budući da se jednična sila izračuvana množenjem recipročnom vrijednošću intenziteta, imati će smisao suprotan smislu jedničnoga vektora pomoću kojeg je sila zadana:

Kutovi  $\boldsymbol{\alpha}$,  $\boldsymbol{\beta}$  i  $\boldsymbol{\gamma}$  koje vektor sile zatvara s koordinatnim osima  $x$,  $y$  i  $z$:

•  iz   $\vec{F}\cdot\vec{\imath}\:=\: \|\vec{F}\| \cdot \|\vec{\imath}\|\cdot\cos\,(\vec{F},\,\vec{\imath})$   slijedi
  

$\cos\alpha \;=\; \cos\,(\vec{F},\,\vec{\imath}) \;=\; \dfrac{\vec{F}\cdot \vec{\imath}}{\|\vec{F}\|} \;=\; \dfrac{F_x\,\vec{\imath} + F_y\,\vec{\jmath} + F_z\,\vec{k}}{\|\vec{F}\|}\cdot \vec{\imath}$

$\phantom{\cos\alpha} \;=\; \dfrac{F_x}{\|\vec{F}\|}\vec{\imath}\cdot\vec{\imath} + \dfrac{F_y}{\|\vec{F}\|}\vec{\jmath}\cdot\vec{\imath} + \dfrac{F_z}{\|\vec{F}\|}\vec{k}\cdot\vec{\imath} \;=\; \dfrac{F_x}{\|\vec{F}\|}\cdot 1 + \dfrac{F_y}{\|\vec{F}\|}\cdot 0 + \dfrac{F_z}{\|\vec{F}\|}\cdot 0 \;=\; \dfrac{F_x}{\|\vec{F}\|}$;

•  na isti način dobivamo
  

$\cos\beta \,=\, \dfrac{F_y}{\|\vec{F}\|}$    i    $\cos\gamma \,=\, \dfrac{F_z}{\|\vec{F}\|}$,

•  pa su

$\alpha \:=\: \arccos \dfrac{F_x}{\|\vec{F}\|}$,

$\beta \:=\: \arccos \dfrac{F_y}{\|\vec{F}\|}$,

$\gamma \:=\: \arccos \dfrac{F_z}{\|\vec{F}\|}$;

•  kutovi u radijanima:

•  kutovi u stupnjevima  $\left(\alpha\:[{}^\circ] \,=\, \dfrac{180}{\pi}\,\alpha\:[\mathrm{rad}]\right)$:

•  kutovi $\alpha, \beta$ i $\gamma$ nisu međusobno neovisni:  $\cos^2\alpha + \cos^2\beta +\cos^2\gamma = 1$

• usporedba s izrazom za jediničnu silu na pravcu i u smislu djelovanja sile $\vec{F}$ pokazuje da su skalarne komponente jedinične sile kosinusi kutova koje vektor sile zatvara s koordinatnim osima:

$\vec{f}_{\!0} \,=\, \dfrac{F_x}{\|\vec{F}\,\|} \vec{\imath} + \dfrac{F_y}{\|\vec{F}\,\|} \vec{\jmath} + \dfrac{F_z}{\|\vec{F}\,\|} \vec{k} \,=\, \cos\alpha\:\vec{\imath} + \cos\beta\:\vec{\jmath} + \cos\gamma\:\vec{k}$

Kutovi $\boldsymbol{\varphi}$ i $\boldsymbol{\psi}$ kojima je određen pravac i smisao djelovanja sile:

•  $\varphi$ — kut između osi $x$ i vektora sile  $\vec{F}_{x,y} = \vec{F}_x + \vec{F}_y$  (ortogonalne projekcije sile $\vec{F}$ na ravninu $xy$)
•  $\psi$ — kut između vektora sile $\vec{F}_{x,y}$ i vektora sile $\vec{F}$

•   $\varphi \;=\; \arccos\,\dfrac{\vec{\imath}\cdot(\vec{F}_x + \vec{F}_y)}{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|} \;=\; \arccos\,\dfrac{F_x}{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|}$

•    $\psi \;=\; \arccos\,\dfrac{(\vec{F}_x + \vec{F}_y)\cdot\vec{F}}{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|\cdot\|\vec{F}\|} \;=\; \arccos\,\dfrac{F_x^2 + F_y^2}{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|\cdot\|\vec{F}\|} \;=\; \arccos\,\dfrac{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|^2}{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|\cdot\|\vec{F}\|} \;=\; \arccos\,\dfrac{\|\vec{F}_x + \vec{F}_y\|}{\|\vec{F}\|}$

Projiciranje sile na pravac

Ortogonalna projekcija sile $\vec{F}$ na pravac $p$ koji je zadan točkama $A$ i $B$:

• vrijednost projekcije (ili skalarna projekcija) jednaka je skalarnom produktu vektora sile i jediničnoga vektor $\vec{e}_p$ na pravcu $p$:  $F_p = \vec{F}\cdot\vec{e}_p$

• jedinični vektor na pravcu, orijentiran od točke $A$ prema $B$:   $\vec{e}_p = \dfrac{\vec{r}_B - \vec{r}_A}{\|\vec{r}_B - \vec{r}_A\|}$,  gdje su $\vec{r}_A$ i $\vec{r}_B$ radijus-vektori točaka $A$ i $B$:

• ako se promijeni orijentacija jediničnoga vektora na pravcu, mijenja se predznak skalarne projekcije:

• predznak skalarne projekcije mijenja se i ako se promijeni smisao djelovanja sile:

• projekcija kao sila (ili vektorska projekcija) izračunava se množenjem skalarne projekcije i jediničnoga vektora na pravcu:  $\vec{F}_p = (\vec{F}\cdot\vec{e}_p)\,\vec{e}_p$

• ako se promijeni orijentacija jediničnoga vektora na pravcu, orijentacija vektorske projekcije neće se promijeniti [objasnite zašto!]:

• promjenom orijetacije sile, međutim, mijenja se i orijentacija vektorske projekcije:

• ortogonalne projekcije sile na koordinatne osi jednake su njezinim ortogonalnim komponentama:

• općenitije, rastavi li se sila u vektorske komponente usporedne s međusobno okomitim pravcima, komponente će biti jednake ortogonalnim vektorskim projekcijama sile na te pravce (uz po volji odabrane orijentacije na njima); ako, međutim, pravci nisu međusobno okomiti, komponente neće biti jednake projekcijama (pokazat ćemo to u sljedećem primjeru).

Primjer 5.:

Rastavljanje sile u tri komponente usporedne s tri pravca koji nisu usporedni s jednom ravninom i od kojih po dva nisu međusobno usporedna

• za rastav vrijedi  $\vec{F} \,=\, A\,\vec{a}_0 + B\:\vec{b}_0 + C\:\vec{c}_0$,  pri čemu su  $\vec{a}_0$,  $\vec{b}_0$  i  $\vec{c}_0$  jedinični vektori na pravcima $a$, $b$ i $c$  (njihova orijentacija nije bitna)

• korak 1.:  jedinični vektori  $\vec{a}_0$,  $\vec{b}_0$  i  $\vec{c}_0$:

• korak 2.:  vrijednosti $A$, $B$  i  $C$:

            $\vec{F} \:= \vec{P} \quad \Longleftrightarrow \quad F_x = P_x \;\;\mathit\&\;\; F_y = P_y \;\;\mathit\&\;\;F_z = P_z$ 

            $\begin{eqnarray} F_x\,\vec{\imath} + F_y\,\vec{\jmath} + F_z\,\vec{k} & \;= &  A\,\vec{a}_0 + B\:\vec{b}_0 + C\:\vec{c}_0 \\ & \;= & A\,(a_{0,x}\,\vec{\imath} + a_{0,y}\,\vec{\jmath} + a_{0,z}\,\vec{k}) \,+\, B\,(b_{0,x}\,\vec{\imath} + b_{0,y}\,\vec{\jmath} + b_{0,z}\,\vec{k}) \,+\,C\,(c_{0,x}\,\vec{\imath} + c_{0,y}\,\vec{\jmath} + c_{0,z}\,\vec{k})  \\  & \;= & (A\,a_{0,x} +  B\,b_{0,x} + C\,c_{0,x})\,\vec{\imath} + (A\,a_{0,y} + B\,b_{0,y} + C\,c_{0,y})\,\vec{\jmath} + (A\,a_{0,z} + B\,b_{0,z} + C\,c_{0,z})\,\vec{k} \end{eqnarray}$

            $\!\!\left[\begin{array}{ccc} a_{0,x} & b_{0,x} & c_{0,x} \\ a_{0,y} & b_{0,y} & c_{0,y} \\ a_{0,z} & b_{0,z} & c_{0,z} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} A \\ B \\ C \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} F_x \\ F_y \\ F_z \end{array}\right] \qquad \Longrightarrow \qquad A, B,\, C$

• korak 3.:  komponente  $\vec{A} = A\,\vec{a}_0$,  $\vec{B} = B\:\vec{b}_0$  i  $\vec{C} = C\:\vec{c}_0$:

... da, ali ... prisjetite se: ispitivanje jednakosti pseudorealnih brojeva logičkim operatorom == gotovo nikad nije dobra zamisao; 

umjesto toga,

• uzima se da su brojevi $a$ i $b$ jednaki ako je  $|a - b| < \tau$,  gdje je  $\tau > 0$  odabrana točnost;
• uzima se da su vektori $\vec{u}$ i $\vec{v}$ jednaki ako je $\|\vec{v} - \vec{u}\| < \tau\,$; 

stoga:

• promjena orijentacije vektora $\vec{a}_0$:

Ortogonalne projekcije sile na tri pravca:

(usporedbe radi, projekcije ćemo nacrtati na pravcima koji prolaze hvatištem sile, jer istom točkom prolaze i njezine komponente)

• budući da zadani pravci nisu međusobno okomiti, ortogonalne se projekcije na njih razlikuju od komponenata koje su s njima usporedne:

Sila u ravnini može se rastaviti u dvije komponente usporedne s dva pravca koji nisu međusobno usporedni; takav je rastav jedinstven.  [Domaća zadaća: napravite primjer!]