MPZI_predavanje_05

Vektori i matrice

Umjesto uvoda: liste

Lista je uređeni skup koji sadrži određeni, konačan broj komponenata koje mogu, ali ne moraju biti istoga tipa.

Komponente liste navode se unutar uglatih zagrada, a međusobno odvajaju zarezima.

Broj komponenata liste (njezinu „duljinu”) daje funkcija

S listom se može baratati kao sa cjelinom, ali se također može pristupati i baratati pojedinim njezinim komponentama. Komponentama liste pristupa se indeksiranjem. Indeks tražene komponente navodi se unutar uglatih zagrada:

Ako lista sadrži $n$ komponenata, raspon je indeksa od $0$ do $n-1$:

Listu komponenata istoga tipa (npr. brojeva koji pripadaju istom skupu brojeva ($\mathbb{Z},\;\mathbb{Q}$ ili $\mathbb{R}$)) nazvat ćemo nizom.

Funkcija srange() oblikuje rastući ili padajući niz brojeva:

• srange (end)  —  rastući niz  $[\text{zero}, \text{one}, ..., k\times\text{one}]$  uz  $k\times\text{one} <\;$end  i  $(k+1)\times\text{one} \ge\;$end,  pri čemu su ‚zero’ i ‚one’ nula i jedan odgovarajućeg tipa; ako je end$\,\le \text{zero}$, prazan niz;
• srange (start, end)  —  rastući niz  [start, start $+\:1$, ..., start $+\:k$]  uz  start $+\:k <\;$end  i  start $+\:(k+1) \ge\;$end;  ako je end$\:\le\:$start, prazan niz;
• srange (start, end, step)  —  ako su  end $>$ start  i step $>$ 0,  rastući niz  [start, start $+$ step, ..., start $+\:k\times$ step]  uz  start $+\:k\times$ step $<$ end  i  start $+\:(k+1)\times$ step $\ge$ end;  ako su pak  end $<$ start  i  step $<$ 0,  padajući niz  [start, start $-$ |step|, ..., start $-\:k\times$ |step|]  uz  start $-\:k\times$ |step| $>$ end  i  start $-\:(k+1)\times$ |step| $\le$ end.

Komponenta liste može biti i lista:

Vektori

Postoje različite definicije vektora. Za nas će vektori biti nizovi brojeva na kojima su definirane određene algebarske operacije.

Zadavanje vektora

Vektor možemo zadati nizom brojeva:

Broj komponenata vektora (nazvan i njegovom dimenzijom ili dimenzijom vektorskog prostora kojemu pripada) daju funkcije

Zadamo li vektor listom brojeva koji (oblikom zapisa) pripadaju različitim skupovima brojeva, uzima se da svi brojevi pripadaju najsveubuhvatnijem skupu ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$):

Vektor možemo zadati oznakom skupa brojeva kojemu njegove komponente pripadaju (ZZ označava $\mathbb{Z}$, QQ označava $\mathbb{Q}$, a RR označava $\mathbb{R}$) i brojem komponenata:

Dobiveni nul–vektor naknadno „popunjavamo”:

Pritom se brojevi koji pripadaju drugim skupovima brojeva „pretvaraju”, ako je moguće (to jest, bez zaokruživanja ili „rezanja”), u brojeve odgovarajućega skupa.

Vektor možemo zadati oznakom skupa brojeva kojemu njegove komponente pripadaju i nizom komponenata:

... usporedite s

Vektor možemo zadati i kao rezultat određenih aritmetičkih operacija s drugim vektorima.

Primjerice, ako točke u ravnini ili prostoru prikažemo radijus–vektorima, onda je vektor od točke A do točke B  $\vec{v}_{A,B} \,=\, \vec{r}_B - \vec{r}_A$

U ovom smo primjeru uveli operacije zbrajanja i oduzimanja te uspoređivanja jednakosti vektora. Te se operacije izvode po parovima komponenata: primjerice, ako je $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$, onda je $c_i = a_i + b_i$ za $i = 0, 1, \ldots, n-1$.

Pri zadavanju vektor možemo „popuniti” slučajnim brojevima:

Napokon, možemo zadati i „simbolički” vektor komponente kojega su simboli koji označavaju opće brojeve:

Duljina ili (euklidska) norma vektora

Izraz za duljinu (realnog) vektora slijedi iz Pitagorina poučka:  $v = \|\mathbf{v}\| = \displaystyle\sqrt {\sum_{i=0}^{n-1}\, v_i^2}$.

Jedinični vektor na pravcu i u smislu zadanoga vektora dobivamo „normalizacijom”:

Normalizacija je dijeljenje vektora njegovom duljinom:

Skalarni umnožak vektora

„Simbolički” nam vektori daju (gotovo) opći izraz za skalarni umnožak dvaju vektora:

Općenitije, za vektore s $n$ komponenata ($n$–dimenzionalne vektore) skalarni je umnožak  $s = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\, a_i\, b_i$.

Skalarni umnožak međusobno okomitih vektora jednak je nuli:

Euklidska norma realnih vektora može se definirati pomoću skalarnoga umnoška:

... funkcija bool() izračunava logičku vrijednost (istina, laž) relacijskoga izraza (jednakost, nejednakost, veće, manje...)

Pomoću skalarnoga umnoška može se izračunati kut između dva vektora:  

       $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\cdot \|\mathbf{b}\|\cdot\cos\, (\mathbf{a},\,\mathbf{b}) \quad\Rightarrow\quad \cos\, (\mathbf{a},\,\mathbf{b}) = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\cdot \|\mathbf{b}\|} $

• kut u radijanima:

• kut u stupnjevima:

Primjena u mehanici

Pomoću skalarnoga umnoška definira se (mehanički) rad u razmjerno jednostavnom slučaju sile nepromjenjivoga smjera, smisla djelovanja i veličine i pomaka po pravcu koji može, ali ne mora biti pravac djelovanja sile. Prikažemo li silu vektorom $\vec{F}$, a pomak vektorom $\vec{d}$, mehanički je rad sile na pomaku

        $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Vektorski umnožak vektora

Ponovno, općega ćemo se izraza za komponente vektorskog umnoška dvaju vektora prisjetiti pomoću „simboličkih” vektora:

Taj se izraz može izvesti razvojem determinante  $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ b_0 & b_1 & b_2 \end{array} \right|$.

Vektorski je umnožak definiran samo u trodimenzionalnomu (i, za nas nevažno, u sedmerodimenzionalnomu) prostoru, a okomit je na oba faktora:

Posebno, ako su vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ u ravnini $xy$, vector $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$ bit će usporedan s osi $z$:

Za kolinearne vektore poput, primjerice,

vrijedi

Vektorski umnožak nije komutativan...

... nego antikomutativan:

Primjena u mehanici

Pomoću vektorskoga umnoška definira se moment sile u odnosu na točku. Momenti su, općenito, fizikalne veličine kojima se izražava utjecaj položaja sile na uvjete ravnoteže.

Vektor $\vec{M}_{F/\mathsf{A}}$ momenta sile $\vec{F}$  u odnosu na točku $\mathsf{A}$ vektor je dobiven kao vektorski umnožak položajnoga vektora $\vec{r}_{\!F/\mathsf{A}}$ sile $\vec{F}$  u odnosu na točku $\mathsf{A}$ i vektora $\vec{F}$  kojim je prikazana sila:

        $\vec{M}_{F/\mathsf{A}} = \vec{r}_{\!F/\mathsf{A}}\times \vec{F}$.

Položajni vektor sile u odnosu na neku točku vektor je čiji je početak u toj točki, a vrh u bilo kojoj točki pravca djelovanja sile.

Moment sile oko osi definira se pomoću oba umnoška. Njegova je vrijednost

        $M_{F/\mathsf{o}} = \vec{e}_{\mathsf{o}}\cdot \vec{M}_{F/\mathsf{A}} = \vec{e}_{\mathsf{o}}\cdot (\vec{r}_{\!F/\mathsf{A}}\times \vec{F}\,) $,

pri čemu je $\vec{e}_{\mathsf{o}}$ jedinični vektor kojim je određena os $\mathsf{o}$, dok $\mathsf{A}$ sada bilo koja točka osi $\mathsf{o}$.  Vektor momenta oko osi je

        $\vec{M}_{F/\mathsf{o}} = M_{F/\mathsf{o}}\;\vec{e}_{\mathsf{o}} = [\vec{e}_{\mathsf{o}}\cdot (\vec{r}_{\!F/\mathsf{A}}\times \vec{F}\,) ]\;\vec{e}_{\mathsf{o}}.$

Matrice

Kao i vektori, matrice se mogu definirati na različite načine. Mi ćemo matrice definirati kao pravokutne ili kvadratne tablice redci i stupci kojih su nizovi brojeva i s kojima se mogu izvoditi određene algebarske operacije.

Zadavanje matrica

Matricu možemo zadati:

• navođenjem niza čije su komponente nizovi brojeva jednakih duljina:

• navođenjem broja redaka $r$, broja stupaca $c$ i niza koji mora sadržavati $r\times c$ brojeva:

• navođenjem oznake skupa brojeva kojem komponente pripadaju, broja redaka i broja stupaca; time dobivamo nul–matricu koju treba kasnije „popuniti”:

(Treba napomenuti da nismo naveli sve moguće načine zadavanja matrica.)

Neke su posebne matrice:

• jedinična matrica (budući da je jedinična matrica kvadratna, dovoljno je navesti broj redaka (ili stupaca)):

• dijagonalna matrica (u nizu se navode komponente na dijagonali, čime je određen broj redaka i stupaca):

• matrica popunjena jedinicama određenoga tipa:

Kao i vektor, matricu možemo pri zadavanju „popuniti” slučajnim brojevima:

Vektor možemo „pretvoriti” u jednorednu ili u jednostupčanu matricu:

Pristupanje komponentama matrice

Pojedinim komponentama pristupamo pomoću para indeksa:

Može se pristupiti i cijelom stupcu ili cijelom retku matrice:

(U SageMath-u je postupak indeksiranja pomoću operatora [] poprilično fleksibilan i sofisticiran, ali u detalje ovdje ne možemo ulaziti. Zainteresirane upućujemo na pripadno poglavlje u Reference Manual-u.)

Broj redaka i broj stupaca matrice dobivamo funkcijama .nrows() i .ncols():

Neke martrične operacije

Matrice možemo množiti brojem i, ako su istoga tipa (jednakih brojeva redaka i stupaca), zbrajati ili oduzimati:

Kao i kod vektora, zbrajanje i oduzimanje matrica izvode se po parovima komponenata, dok se pri množenju matrice brojem sve njezine komponente množe tim brojem.

Umnožak $\mathbf{C} = \mathbf{A\,B}$ dviju matrica $\mathbf{A}$ i $\mathbf{B}$ definiran je ako (i samo ako) je broj stupaca prve jednak broju redaka druge, jer je opći izraz za komponente umnoška  $c_{i,j} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n - 1} a_{i,k}\,b_{k,j}$, gdje je $n$ broj stupaca prve i broj redaka druge matrice.

Vektor se, u stvari, u određenim kontekstima može smatrati jednostupčanom matricom i bez eksplicitne prevorbe, tako da je definirano i množenje matrice i vektora; rezultat je vektor (a ne jednostupčana matrica):

Ako je matrica tipa $r\times c$, njoj transponirana matrica tipa je $c\times r$. Komponente transponirane matrice $\mathbf{B} = \mathbf{A}^{\!\mathrm{T}}$ su  $b_{i,j} = a_{j,i}$.

Matrica je regularna ako joj je determinanta različita od nula; u protivnom je singularna.

Matrice koje nisu singularne mogu se, znamo, invertirati.

Prema definiciji, za inverznu matricu vrijedi  $\mathbf{A}\,\mathbf{A}^{\!-1} = \mathbf{A}^{\!-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}$.

Te jednakosti možemo i neposredno ispitati:

Rekli smo da se matrice koje nisu singularne mogu invertirati. Mogu li zaista?

Ops! Da, ali...

... naime, rezultat funkcije is_invertible() je True samo ako komponente inverzne matrice pripaduju istom skupu kojemu pripadaju komponente izvorne matrice.