Processing math: 100%

DKiPI_3_2019_studenti

2245 days ago by mdemsic@grad.hr

Zadavanje vektora i matrica, osnovne naredbe i operacije

- MPZI_predavanje_02 i MPZI_vj02 - vektori i matrice


Vektor se zadaje nizom brojeva (listom brojeva)

       

Broj komponenata vektora (nazvan i njegovom dimenzijom ili dimenzijom vektorskog prostora kojem pripada) daju funkcije

       
       

Pristupanje komponentama vektora vrši se indeksiranjem (prvi element liste ima indeks 0!)

       
       

Za vektore sa n komponenata (n-dimenzionalne vektore) skalarni je umnožak  s=ab=n1i=0aibi.

Skalarni produkt vektora u matričnoj notaciji:

                                                                             ab=aTb

       
       
       
       

Matrice

Osnovni način zadavanja matrica je nizom čije su komponenete nizovi brojeva jednakih duljina

       

Pristupanje komponentama matrice:

       

Pristupanje cijelom retku ili cijelom stupcu matrice:

       
       

Pristupanje 'podmatricama':

       

Konstruiranje jedinične matrice B reda 4x4

       
       
(1000010000100001)

                                

Vektor možemo "pretvoriti" u jednorednu ili u jednostupčanu matricu:

       
       
       

Neke martrične operacije

Matrice možemo množiti brojem i, ako su istog tipa (jednakih brojeva redaka i stupaca), zbrajati ili oduzimati:

Kao i kod vektora, zbrajanje i oduzimanje matrica izvode se po parovima komponenata, dok se pri množenju matrice brojem sve njezine komponente množe tim brojem.

       

Umnožak C=AB dviju matrica A i B definiran je ako je broj stupaca prve jednak broju redaka druge, jer je opći izraz za komponente umnoška  ci,j=n1k=0ai,kbk,j, gdje je n broj stupaca prve i broj redaka druge matrice.

       

Produkt vektora  abT  daje matricu.

Da bi primjenili operacije s matricama na vektore, prvo ih je potrebno transformirati u jednoredne ili jednostupčane matrice

       
       

Vektor se, u stvari, u određenim kontekstima može smatrati jednostupčanom matricom i bez eksplicitne prevorbe, tako da je definirano i množenje matrice i vektora; rezultat je vektor (a ne jednostupčana matrica):

       
       

Transponirana matrica: AT

       

Inverzna matrica: A1

       
       

DKPI - ZADATAK

Za zadani okvir potrebno je odabrati dinamičke stupnjeve slobode te za odabrani model odrediti oblike titranja metodom Stodola.

Zatim treba odrediti zakon prisilnog titranja sustava koje će nastati od naglog ubrzanja podloge ug(t)=0,25g trajanja 4 s.

       

Matrica krutosti

       

Kondenzacija matrice krutosti:

                                                  K=kttkt0k100k0t

       
       

Matrica fleksibilnosti:

                                  F=k1

       

Matrica masa

Matrica masa

       

Odredivanje vlastitih frekvencija i vektora metodom Stodola

Dv(n)m=λmv(n+1)m

gdje je : D=FM      i      λm=1ω2m

       

Da bi proveli iterativni postupak metode Stodola, programirati će se jednostavna funkcija koja izvršava iterativni proces do zadovoljenja zadanog uvjeta konvergencije

Više o osnovama programiranja: 

- MPZI_predavanje_09 i MPZI_vj09

- MPZI_predavanje_10 i MPZI_vj10

- MPZI_predavanje_11 i MPZI_vj11

- MPZI_predavanje_12 i MPZI_vj12

- MPZI_predavanje_13 i MPZI_vj13

"Programska se funkcija definira na sljedeći način:

    def naziv (parametri) :

        tijelo funkcije

Definicija funkcije započinje ključnom riječju def iza koje slijedi naziv funkcije. Dobro odabrani naziv trebao bi biti ključem značenja i svrhe funkcije. Nakon naziva se između okruglih zagrada navode parametri funkcije. Parametri su varijable koje pri upotrebi funkcije prihvaćaju vrijednosti koje se prenose u funkciju—koje ulaze u nju. (Par zagrada treba napisati i ako funkcija nema parametara.) Prvi redak definicije funkcije završava dvotočkom.

Tijelo funkcije niz je naredbi koje propisuju kako funkcija radi ono čemu je namijenjena.

Vrijednost koju funkcija izračunava i 'vraća' naredbom return je vrijednost funkcije.

 

Upotreba funkcije naziva se pozivom funkcije

       naziv (argumenti)

Nakon naziva se između okruglih zagrada navode funkcijski argumenti—vrijednosti koje se prenose u funkciju."

.

 

Iteracija:   

Dv(n)m=λmv(n+1)m

uvjet konvergencije Δ=|λ(n+1)mλ(n)m|<106

       

1. oblik

       
       
       

2. oblik

Matrica čišćenja:

S1=Iϕ1ϕT1MϕT1Mϕ1

       

Nova dinamička matrica ('očišćena od prvog oblika'):

D1=DS1

       
       
       
       

Normiranje vektora v2 na jedinicu

       

2. oblik

Matrica čišćenja:

S2=S1ϕ2ϕT2MϕT2Mϕ2

       
       
       
       
       
       

Normiranje vektora v3 na jedinicu

       

Normiranje vektora ϕ2 na jedinicu

       

Periodi:

       
       
       

Modalna analiza


u=Φq

Mn¨qn+Knqn=Pn(t)     n=1,2,3

gdje je: Mn=ϕTnmϕn; Kn=ϕTnkϕn i Pn=ϕTnpeff

 

Efektivno opterećenje za horizontalno gibanje podloge:

peff(t)=Mlug(t)

gdje je l vektor utjecaja