Zadavanje vektora i matrica, osnovne naredbe i operacije
- MPZI_predavanje_02 i MPZI_vj02 - vektori i matrice
Vektor se zadaje nizom brojeva (listom brojeva)
|
Broj komponenata vektora (nazvan i njegovom dimenzijom ili dimenzijom vektorskog prostora kojem pripada) daju funkcije
|
|
Pristupanje komponentama vektora vrši se indeksiranjem (prvi element liste ima indeks 0!)
|
|
Za vektore sa n komponenata (n-dimenzionalne vektore) skalarni je umnožak s=a⋅b=n−1∑i=0aibi.
Skalarni produkt vektora u matričnoj notaciji:
a⋅b=aTb
|
|
|
|
Matrice
Osnovni način zadavanja matrica je nizom čije su komponenete nizovi brojeva jednakih duljina
|
Pristupanje komponentama matrice:
|
Pristupanje cijelom retku ili cijelom stupcu matrice:
|
|
Pristupanje 'podmatricama':
|
Konstruiranje jedinične matrice B reda 4x4
|
(1000010000100001)
|
Vektor možemo "pretvoriti" u jednorednu ili u jednostupčanu matricu:
|
|
|
Neke martrične operacije
Matrice možemo množiti brojem i, ako su istog tipa (jednakih brojeva redaka i stupaca), zbrajati ili oduzimati:
Kao i kod vektora, zbrajanje i oduzimanje matrica izvode se po parovima komponenata, dok se pri množenju matrice brojem sve njezine komponente množe tim brojem.
|
Umnožak C=AB dviju matrica A i B definiran je ako je broj stupaca prve jednak broju redaka druge, jer je opći izraz za komponente umnoška ci,j=n−1∑k=0ai,kbk,j, gdje je n broj stupaca prve i broj redaka druge matrice.
|
Produkt vektora abT daje matricu.
Da bi primjenili operacije s matricama na vektore, prvo ih je potrebno transformirati u jednoredne ili jednostupčane matrice
|
|
Vektor se, u stvari, u određenim kontekstima može smatrati jednostupčanom matricom i bez eksplicitne prevorbe, tako da je definirano i množenje matrice i vektora; rezultat je vektor (a ne jednostupčana matrica):
|
|
Transponirana matrica: AT
|
Inverzna matrica: A−1
|
|
DKPI - ZADATAK
Za zadani okvir potrebno je odabrati dinamičke stupnjeve slobode te za odabrani model odrediti oblike titranja metodom Stodola.
Zatim treba odrediti zakon prisilnog titranja sustava koje će nastati od naglog ubrzanja podloge ug(t)=0,25g trajanja 4 s.
|
Matrica krutosti
|
Kondenzacija matrice krutosti:
K=ktt−kt0k−100k0t
|
|
Matrica fleksibilnosti:
F=k−1
|
Matrica masa
Matrica masa
|
Odredivanje vlastitih frekvencija i vektora metodom Stodola
Dv(n)m=λmv(n+1)m
gdje je : D=FM i λm=1ω2m
|
Da bi proveli iterativni postupak metode Stodola, programirati će se jednostavna funkcija koja izvršava iterativni proces do zadovoljenja zadanog uvjeta konvergencije
Više o osnovama programiranja:
- MPZI_predavanje_09 i MPZI_vj09
- MPZI_predavanje_10 i MPZI_vj10
- MPZI_predavanje_11 i MPZI_vj11
- MPZI_predavanje_12 i MPZI_vj12
- MPZI_predavanje_13 i MPZI_vj13
"Programska se funkcija definira na sljedeći način:
def naziv (parametri) :
tijelo funkcije
Definicija funkcije započinje ključnom riječju def iza koje slijedi naziv funkcije. Dobro odabrani naziv trebao bi biti ključem značenja i svrhe funkcije. Nakon naziva se između okruglih zagrada navode parametri funkcije. Parametri su varijable koje pri upotrebi funkcije prihvaćaju vrijednosti koje se prenose u funkciju—koje ulaze u nju. (Par zagrada treba napisati i ako funkcija nema parametara.) Prvi redak definicije funkcije završava dvotočkom.
Tijelo funkcije niz je naredbi koje propisuju kako funkcija radi ono čemu je namijenjena.
Vrijednost koju funkcija izračunava i 'vraća' naredbom return je vrijednost funkcije.
Upotreba funkcije naziva se pozivom funkcije:
naziv (argumenti)
Nakon naziva se između okruglih zagrada navode funkcijski argumenti—vrijednosti koje se prenose u funkciju."
.
Iteracija:
Dv(n)m=λmv(n+1)m
uvjet konvergencije Δ=|λ(n+1)m−λ(n)m|<10−6
|
1. oblik
|
|
|
2. oblik
Matrica čišćenja:
S1=I−ϕ1ϕT1MϕT1Mϕ1
|
Nova dinamička matrica ('očišćena od prvog oblika'):
D1=DS1
|
|
|
|
Normiranje vektora v2 na jedinicu
|
2. oblik
Matrica čišćenja:
S2=S1−ϕ2ϕT2MϕT2Mϕ2
|
|
|
|
|
|
Normiranje vektora v3 na jedinicu
|
Normiranje vektora ϕ2 na jedinicu
|
Periodi:
|
|
|
Modalna analiza
u=Φq
Mn¨qn+Knqn=Pn(t) n=1,2,3
gdje je: Mn=ϕTnmϕn; Kn=ϕTnkϕn i Pn=ϕTnpeff
Efektivno opterećenje za horizontalno gibanje podloge:
peff(t)=−Mlug(t)
gdje je l vektor utjecaja
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|