DKiPI_2_2019_studenti

Prisilno titranje sustava s jednim stupnjem slobode

Na prikazani okvir djeluje dinamička sila p(t). Treba odrediti funkciju odziva sustava za različite vrijednosti funkcije sile p(t). Rješenja odrediti za homogene početne uvjete. Također odrediti i funkciju odziva za prigušenje 5% za funkcije pobude pod a) i d).

Zadano je:

$EI = 15\cdot 10^3  kNm^2$

$L = 6 m$

$h = 3 m$

$m = 3 t$

$P_0 = 20 kN$

$t_1 = 0,6 s$

$t_2 = 1 s$

Matematički model prislinog neprigušenog titranja:

$m \ddot{u}(t) + k u(t) = P(t)$

Matematički model prisilnog prigušenog titranja:

 $m \ddot{u}(t) + 2 \zeta \; m \; \omega_n \dot{u} (t) + k u(t) = P(t)$

Dinamičke karakteristike sustava su:

prirodna kružna frekvencija sustava: $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$

period slobodnog titranja: $T_n = \frac{2\pi}{\omega}$

a) Konstantna sila $P(t) = P_0$

Vrijednost statičkog pomaka $u_{st} = \frac{P_0}{k}$

U trenutku $t_1 = 0.6$ s sila $P_0$ prestaje djelovati, pa za $t>0.6$ s imamo slobodno titranje

$\ddot{u}(t) + \omega_n^2 u(t) = 0$

Početne uvjete za slobodno titranje određujemo iz funkcije odziva na konstantnu silu:

$u_{t1} = u(t=0.6)$

$v_{t1} = u'(t=0.6)$

a1) Konstantna sila $P(t) = P_0$ - prigušen sustav

Matematički model prislinog prigušenog titranja:

$\ddot{u}(t) + 2 \zeta \omega_n \dot{u}(t) + \omega_n^2 u(t) = \frac{P(t)}{m}$

gdje je $\zeta$ relativno prigušenje sustava (zadano 5%).

Rješenje jednadžbe za $0 < t < t_1$

Rješenje jednadžbe za $t > t_1$

b) Linearna sila P(t)

Interval $0 < t < t_1$

Ako sila $P_0$ djeluje statički, pomak se također linearno povećava proporcionalno sili (nema titranja), $u_{st} = \frac{P_0}{k}\frac{t}{t_1}$

U trenutku $t_1 = 0.6$ s sila $P_0$ prestaje djelovati, pa za $t>0.6$ s imamo slobodno titranje

Početne uvjete za slobodno titranje određujemo iz prethodno određene funkcije:

$u_{t1} = u(t=0.6)$

$v_{t1} = u'(t=0.6)$

b) Linearna+konstantna sila P(t)

Interval $0 < t < t_1$ : rješenje je ranije određeno sol_5

Interval $t_1 < t < t_2$

c) harmonijska pobuda $P(t) = P_0 \sin(\omega t)$

Diferencijalna jednadžba:

$m \ddot{u}(t) + k \dot{u}(t) = P_0 \sin (\omega t)$

c1) Reznancija $\omega = \omega_n$

c2) Pulsiranje (eng. bating) $\omega \approx \omega_n$

Zadajemo npr. $\omega = 0.95\omega_n$

c3) Prigušeno titranje

Diferencijalna jednadžba je:

$m \ddot{u}(t) + c \dot{u}(t) + k u(t) = P_0 \sin (\omega t)$

$\ddot{u}(t) + 2 \zeta \omega_n \dot{u}(t) + \omega_n^2 u(t) =  \frac{P_0}{m} \sin (\omega t)$

Rezonancija $\omega = \omega_n$