Uvodno o programskom sustavu za simboličku matematiku Sage (http://sagemath.org/) - MPZI_predavanje_01
Zadaci za 'zagrijavanje' - MPZI_vj01 - aritmetičke operacije i matematičke funkcije
- MPZI_predavanje_02 i MPZI_vj02 - izrazi, funkcije, polinomi i njihovi grafovi
- MPZI_predavanje_03 i MPZI_vj03 - grafika - prikaz ravninskih i prostornih krivulja
- MPZI_predavanje_04 i MPZI_vj04 - prikaz ploha i nivo krivulja
- MPZI_predavanje_05 i MPZI_vj05 - vektori i matrice
- MPZI_predavanje_06 i MPZI_vj06 - jednadžbe i nejednadžbe (bitno $\rightarrow$ sustavi linearnih jednadžbi i određivanje korijena polinoma)
- MPZI_predavanje_07 i MPZI_vj07 - Elementi matematičke analize (derivacije!)
- MPZI_predavanje_08 i MPZI_vj08 - Elementi matematičke analize (2) (Integrali, uvod u diferencijalne jednadžbe)
DKPI - slobodno titranje sustava s jednim stupnjem slobode
Matematički model slobodnog neprigušenog titranja:
$m \ddot{u}(t) + k u(t) = 0$
$\ddot{u}(t) + \omega_n^2 u(t) = 0$
gdje je $\omega^2_n = \frac{k}{m}$ prirodna kružna frekvencija sustava
Zadavanje varijabli i nepoznatih funkcija:
|
|
Zadavanje diferencijalne jednadžbe (izraza):
|
|
Određivanje rješenja diferencijalne jednadžbe
|
|
zadajemo pretpostavku da je $\omega_n \neq 0$
|
|
Rješenje diferencijalne jednadžbe glasi:
|
|
$K_1$ i $K_2$ su nepoznate konstante integracije diferencijalne jednadžbe i ovise o početnim uvjetima.
Određivanje rješenja diferencijalne jednadžbe za zadane početne uvjete $u_0$ i $v_0$
NAPOMENA:
početni uvjeti upisuju se u obliku liste:
[$t_0$, $u(t_0) = u_0$] za problem početne vrijednosti u diferencijalnoj jednadžbi 1. reda
[$t_0$, $u(t_0) = u_0$, $u'(t_0)=v_0$] za problem početne vrijednosti u diferencijalnoj jednadžbi 2. reda
[$x_0$, $y(x_0)$, $x_1$, $y(x_1)$] za problem rubnih vrijednosti u diferencijalnoj jednadžbi 2. reda
|
|
|
|
Nacrtati vremensku funkciju odziva sustava za sljedeće parametre:
$\omega_n = 10 $, $u_0 = 0.5$, $v_0=8$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Matematički model slobodnog prigušenog titranja:
$m \ddot{u}(t) +c \dot{u}(t)+ k u(t) = 0$
$\ddot{u}(t) +2\omega_n \zeta \dot{u}(t)+ \omega_n^2 x(t) = 0$
gdje je $\zeta = \frac{c}{c_{kr}}$ relativno prigušenje sustava - omjer ekvivalentnog viskoznog prigušenja ($c$) i kritičnog prigušenja sustava ($c_{kr} = 2 \omega_n m$)
|
|
Zadavanje diferencijalne jednadžbe
|
|
Određivanje rješenja diferencijalne jednadžbe
|
|
Sjetimo se da je ovo upravo diskriminanta karakteristične jednadžbe, te da karakter titranja ovisi o njenoj vrijednosti
Kritično prigušenje - diskriminanta izčezava
|
|
|
|
|
|
|
|
Ako supstituiramo izraz za krtično prigušenje $c_{kr} = 2 m \omega_n$
|
|
|
|
|
|
b) Prigušenje manje od kritičnog
Uvođenje nove pretpostavke
|
|
Određivanje rješenja diferencijalne jednadžbe
|
|
|
|
|
|
gdje je $\omega_d = \omega \sqrt{1 - \zeta^2}$ frekvencija prigušenog titranja
Sjetimo se da za $\zeta << 1$, slijedi da je $\omega_d \approx \omega$
Neka je relativno prigušenje zadanog sustava $3\%$
|
|
c) Prigušenje veće od kritičnog
Uvođenje nove pretpostavke
|
|
Određivanje rješenja diferencijalne jednadžbe
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zadatak s auditornih vježbi:
Odredi funkciju slobodnog titranja prikazane grede ako se prilikom udara impulsa sile $S=250 Ns$ naglo odvoji teret težine $G= 4kN$. Odredi amplitudu titranja.
Zadano je: $L = 4.5 [m]$, $m = 0,8 [t]$, $EI = 6000 [kNm^2]$
|
|
|
|
Početni pomak jednak je statičkom pomaku od tereta G
|
|
Početna brzina ovisi o promjeni količine gibanja koju uzrokuje impuls sile S. Budući da impuls djeluje na masu m ali i na teret težine G, u jednadžbi za promjenu količine gibanja treba uzeti ukupnu masu sustava prije titranja.
$m_{uk} \dot{u}(t_2) - m_{uk} \dot{u}(t_1) = S_{1,2} $
$\left( m + \frac{G}{g} \right) \dot{u} (0) - 0 = S$
$\dot{u} (0) = v_0 = \frac{S}{\left( m + \frac{G}{g} \right)}$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|