MPZI_vj13_s_izradom -- Sage

Dvostruka petlja for

1. zadatak

Napišite programsku funkciju umnozak() koja ima dva parametra, realan broj $r$ i matricu $\mathbf{A}$ s realnim komponentama, a vraća novu matricu koja je umnožak broja $r$ i matrice $\mathbf{A}$. Program izvedite s argumentima $r=3$ i $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr} -1,\!1 & 2 \\ 3 & 1,\!3 \end{array}\right]$. Trebate dobiti matricu $\left[\begin{array}{rr} -3,\!3 & 6 \\ 9 & 3,\!9 \end{array}\right]$.

Podsjećamo:

ako je $\mathbf{B} = r\cdot\mathbf{A}$, onda je $b_{i,j} = r\cdot a_{i,j}$ ;
broj redaka i broj stupaca matrice A dobivaju se pomoću funkcija .nrows() i .ncols();
nul–matrica koja ima m redaka i n stupaca, a komponente su joj nule kao realni brojevi, dobiva se pozivom funkcije zero_matrix (RR, m, n);
komponenti u i-tom retku i j-tom stupcu matrice A pristupa se izrazom A[i,j];
indeksi komponenata počinju od 0;
niz cijelih brojeva $0,\,1,\,\ldots,\, m\!-\!1$ dobiva se pozivom funkcije srange(m).

def umnozak (r, A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (RR, m, n)
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) : 
            B[i,j] = r * A[i,j]
    return B

A = matrix (RR, [[-1.1, 2], [3, 1.3]])
umnozak (3, A)

[-3.30000000000000  6.00000000000000]
[ 9.00000000000000  3.90000000000000]

[-3.30000000000000  6.00000000000000]
[ 9.00000000000000  3.90000000000000]

1. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju minus_jedan() koja ima jedan parametar, i to matricu, a vraća novu matricu dobivenu množenjem parametra sa $-1$. Program izvedite s argumentom $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr} -1,\!1 & 2 \\ 3 & 1,\!3 \end{array}\right]$. Trebate dobiti matricu $\mathbf{B} = \left[\begin{array}{rr} 1,\!1 & -2 \\ -3 & -1,\!3 \end{array}\right]$.

2. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju zbroj_matrica() koja će zbrojiti dvije matrice. Ako je $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$, onda je $c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}$. Stoga se matrice mogu zbrajati samo ako imaju isti broj redaka i isti broj stupaca, ali u funkciji ne trebate provjeravati tu činjenicu, jer ćemo smatrati da ćemo je upotrebljavati samo u tom slučaju. Program izvedite s argumentima $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr} -1,\!1 & 2 \\ 3 & 1,\!3 \end{array}\right]$ i $\mathbf{B} = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2,\!1 \\ -3 & -1,\!2 \end{array}\right]$; rezultat je matrica $\left[\begin{array}{rr} -0,\!1 & 4,\!1 \\ 0 & 0,\!1 \end{array}\right]$.

2. zadatak

Napišite programsku funkciju zbroj_pn() koja će zbrojiti posebno pozitivne, a posebno negativne komponente matrice. Program izvedite s argumentom $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 0\\ 3 & 1 & -2 \\ 0,\!5 & 0 & -0,\!1 \end{array}\right]$; rezultat je par $(6,\!5; -3,\!1)$.

def zbroj_pn (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    zp = 0
    zn = 0
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) :
            if A[i,j] > 0 :
                zp += A[i,j]
            elif A[i,j] < 0 :
                zn += A[i,j]
    return zp, zn

A = matrix ( [[-1, 2, 0], [3, 1, -2], [0.5 , 0, -0.1]] )
zbroj_pn (A)

(6.50000000000000, -3.10000000000000)

(6.50000000000000, -3.10000000000000)

3. zadatak za zadaću

Modificirajte funkciju zbroj_pn() iz 2. zadatka tako da dobijete funkciju umnozak_pn() koja vraća umnoške pozitivnih i negativnih komponenata matrice. Za argument $\mathbf{A}$ iz 2. zadatka trebate dobiti par $(3; -0,\!2)$

4. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju najveci() koje će pronaći najveću komponentu matrice. Program izvedite za argument $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr} -1,\!1 & 2 \\ 3 & 1,\!3 \end{array}\right]$. Trebate dobiti broj 3.

Provedite potrebne promjene u programskoj funkciji najveci() tako da nova funkcija vraća najmanju komponentu matrice; novu funkciju nazovite najmanji(). Za argument $\mathbf{A}$ trebate kao rezultat dobiti $-1,\!1$.

5. zadatak za zadaću

Promijenite funkciju najveci() iz 4. zadatka za zadaću tako da umjesto najveće komponente vraća indekse retka i stupca u kojima se ta komponenta nalazi; funkciju nazovite indeksi_najvecega(). Ako program izvedete za argument $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr} -1,\!1 & 2 \\ 3 & 1,\!3 \end{array}\right]$, trebate kao rezultat dobiti par brojeva $(1, 0)$.

Provedite promjene analogne promjenama iz drugoga dijela 4. zadatka za zadaću.

Dodatak: Množenje matrica ili trostruka petlja for

Umnožak $\mathbf{C} = \mathbf{A\,B}$ dviju matrica $\mathbf{A}$ i $\mathbf{B}$ definiran je ako (i samo ako) je broj stupaca prve jednak broju redaka druge. Ako matrica $\mathbf{A}$ ima $m$ redaka i $p$ stupaca, a matrica $\mathbf{B}$ $p$ redaka i $n$ stupaca, matrica $\mathbf{C}$ imat će $m$ redaka i $n$ stupaca, njezine su komponente određene izrazom $c_{i,j} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{p - 1} a_{i,k}\,b_{k,j}$. (Preglednosti ispisa radi, programsku ćemo funkciju napisati za matrice s racionalnim komponentama ($\mathbb{Q}$, to jest QQ).)

def umnozak_matrica (A, B) :
    m = A.nrows()
    n = B.ncols()
    p = A.ncols()
    C = zero_matrix (QQ, m, n)
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            for k in srange (p) :
                C[i,j] += A[i,k] * B[k,j]
    return C

A = random_matrix (QQ, 3, 2)
A

[   2   -1]
[ 1/2    0]
[   0 -1/2]

[   2   -1]
[ 1/2    0]
[   0 -1/2]

B = random_matrix (QQ, 2, 4)
B

[1/2   0  -1   2]
[  0   2   0  -1]

[1/2   0  -1   2]
[  0   2   0  -1]

umnozak_matrica (A, B)

[   1   -2   -2    5]
[ 1/4    0 -1/2    1]
[   0   -1    0  1/2]

[   1   -2   -2    5]
[ 1/4    0 -1/2    1]
[   0   -1    0  1/2]

Budući da matrica $\mathbf{B}$ ima 4 stupca, a matrica $\mathbf{A}$ 3 retka, umnožak $\mathbf{B\,A}$ nije definiran.

umnozak_matrica (B, A)

Traceback (click to the left of this block for traceback)
...
IndexError: matrix index out of range

Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_8.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("dW1ub3pha19tYXRyaWNhIChCLCBBKQ=="),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/tmp/tmpNcZaZk/___code___.py", line 2, in <module>
    exec compile(u'umnozak_matrica (B, A)
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/tmp/tmpL10Eng/___code___.py", line 10, in umnozak_matrica
    C[i,j] += A[i,k] * B[k,j]
  File "sage/matrix/matrix0.pyx", line 932, in sage.matrix.matrix0.Matrix.__getitem__ (build/cythonized/sage/matrix/matrix0.c:6849)
IndexError: matrix index out of range

SageMath je ispisao poruku o greški i prekinuo izvođenje. Greška je, međutim, u pristupu nepostojećoj komponenti matrice, što je tek posredno povezano s definicijom umnoška matrica, tako da je prekid izvođenja u stvari slučajan. Za matrice s nekim drugim brojem redaka ili stupaca do greške i prekida izvođenja ne mora doći, ali dobiveni rezultat ipak neće biti ispravan (zato što umnožak tih matrica ne postoji):

C = random_matrix (QQ, 4, 2)
C

[  0   1]
[ -2   1]
[ -2  -2]
[  0 1/2]

[  0   1]
[ -2   1]
[ -2  -2]
[  0 1/2]

D = random_matrix (QQ, 2, 3)
D

[   0    0    0]
[   1 -1/2  1/2]

[   0    0    0]
[   1 -1/2  1/2]

umnozak_matrica (D, C)

[   0    0]
[   0 -1/2]

[   0    0]
[   0 -1/2]

U funkciju umnozak_matrica() uključit ćemo stoga provjeru ispunjenosti uvjeta za postojanje umnoška:

def umnozak_matrica (A, B) :
    m = A.nrows()
    n = B.ncols()
    p = A.ncols()
    if p != B.nrows() :
        print "Umnozak matrica: broj stupaca prve matrice mora biti jednak broju redaka druge!"
        return
    C = zero_matrix (QQ, m, n)
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            for k in srange (p) :
                C[i,j] += A[i,k] * B[k,j]
    return C

umnozak_matrica (D, C)

Umnozak matrica: broj stupaca prve matrice mora biti jednak broju redaka druge!

Umnozak matrica: broj stupaca prve matrice mora biti jednak broju redaka druge!

umnozak_matrica (C, D)

[   1 -1/2  1/2]
[   1 -1/2  1/2]
[  -2    1   -1]
[ 1/2 -1/4  1/4]

[   1 -1/2  1/2]
[   1 -1/2  1/2]
[  -2    1   -1]
[ 1/2 -1/4  1/4]

Rješenje 1. zadatka za zadaću

def minus_jedan (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (RR, m, n)
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            B[i,j] = -A[i,j]
    return B

A = matrix (RR, [[-1.1, 2], [3, 1.3]])
minus_jedan (A)

[ 1.10000000000000 -2.00000000000000]
[-3.00000000000000 -1.30000000000000]

[ 1.10000000000000 -2.00000000000000]
[-3.00000000000000 -1.30000000000000]

Budući da već imamo, u 1. zadatku, definiranu funkciju umnozak() funkciju minus_jedan() možemo napisati i ovako:

def minus_jedan (A) :
    return umnozak (-1, A)

A = matrix (RR, [[-1.1, 2], [3, 1.3]])
minus_jedan (A)

[ 1.10000000000000 -2.00000000000000]
[-3.00000000000000 -1.30000000000000]

[ 1.10000000000000 -2.00000000000000]
[-3.00000000000000 -1.30000000000000]

Rješenje 2. zadatka za zadaću

def zbroj_matrica(A, B) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    C = zero_matrix (RR, m, n)
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            C[i,j] = A[i,j] + B[i,j]
    return C

A = matrix (RR, [[-1.1, 2], [3, 1.3]])
B = matrix (RR, [[1, 2.1], [-3, -1.2]])
zbroj_matrica (A, B)

[-0.100000000000000   4.10000000000000]
[ 0.000000000000000  0.100000000000000]

[-0.100000000000000   4.10000000000000]
[ 0.000000000000000  0.100000000000000]

Rješenje 3. zadatka za zadaću

Modificirajte funkciju zbroj_pn() iz 2. zadatka tako da dobijete funkciju umnozak_pn() koja vraća umoške pozitivnih i negativnih komponenata matrice. Za argument $\mathbf{A}$ iz 2. zadatka trebate dobiti par $(3; -0,\!2)$

def umnozak_pn (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    zp = 1
    zn = 1
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) :
            if A[i,j] > 0 :
                zp *= A[i,j]
            elif A[i,j] < 0 :
                zn *= A[i,j]
    return zp, zn

A = matrix ( [[-1, 2, 0], [3, 1, -2], [0.5 , 0, -0.1]] )
umnozak_pn (A)

(3.00000000000000, -0.200000000000000)

(3.00000000000000, -0.200000000000000)

Rješenje 4. zadatka za zadaću

def najveci (A) : 
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    rez = -oo
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            if  A[i,j] > rez :
                rez = A[i,j]
    return rez

A = matrix ( [[-1.1, 2], [3, 1.3]] )
najveci (A)

3.00000000000000

3.00000000000000

def najmanji (A) : 
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    rez = oo
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            if  A[i,j] < rez :
                rez = A[i,j]
    return rez

A = matrix ( [[-1.1, 2], [3, 1.3]] )
najmanji (A)

-1.10000000000000

-1.10000000000000

Rješenje 5. zadatka za zadaću

Promijenite funkciju najveci() iz 4. zadatka za zadaću tako da umjesto najveće komponente vraća indekse retka i stupca u kojima se ta komponenta nalazi; program nazovite indeksi_najvecega(). Ako program izvedete za argument $\mathbf{A} = \left[\begin{array}{rr} -1,\!1 & 2 \\ 3 & 1,\!3 \end{array}\right]$, trebate kao rezultat dobiti par brojeva $(1, 0)$.

def indeksi_najvecega (A) : 
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    indeks_retka = -1
    indeks_stupca = -1
    rez = -oo
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            if  A[i,j] > rez :
                rez = A[i,j]
                indeks_retka = i
                indeks_stupca = j
    return indeks_retka, indeks_stupca

A = matrix ( [[-1.1, 2], [3, 1.3]] )
indeksi_najvecega (A)

(1, 0)

(1, 0)

Provedite promjene analogne promjenama iz drugoga dijela 4. zadatka za zadaću.

def indeksi_najmanjega (A) : 
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    indeks_retka = -1
    indeks_stupca = -1
    rez = oo
    for i in srange (m) :
        for j in srange (n) :
            if  A[i,j] < rez :
                rez = A[i,j]
                indeks_retka = i
                indeks_stupca = j
    return indeks_retka, indeks_stupca

A = matrix ( [[-1.1, 2], [3, 1.3]] )
indeksi_najmanjega (A)

(0, 0)

(0, 0)

MPZI_vj13_s_izradom

2453 days ago by fresl