MPZI_vj11_s_izradom -- Sage

Petlja for

1. zadatak

Napišite programsku funkciju zbroj() koja će izračunati zbroj komponenata liste.

Provjerite ispravnost rada programa na listama $l_1 = [1, 2, 3, 4, 5]$ (zbroj je $15$) i $l_2 =\;$srange(20) (lista $l_2$ sadrži brojeve $0, 1, 2, \ldots, 19$, pa joj je zbroj jednak $190$).

Rješenje primjenom indeksiranja komponenata liste:

def zbroj (lista) :
    rez = 0
    for i in srange (len (lista)) :
        rez = rez + lista[i]
    return rez

zbroj ([1, 2, 3, 4, 5])

... ili:

def zbroj (lista) : 
    rez = lista[0]
    for i in srange (1, len (lista)) :
        rez += lista[i]
    return rez

zbroj ([1, 2, 3, 4, 5])

Sažetije, rješenje „neposrednim” pristupom komponentama:

def zbroj (lista) :
    rez = 0
    for el in lista : 
        rez += el
    return rez

print srange (20)
zbroj (srange (20))

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]
190

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]
190

... ili:

def zbroj (lista) :
    rez = lista[0]
    for el in lista[1:] : 
        rez += el
    return rez

zbroj (srange (20))

Napomena: SageMath ima i ugrađenu funkciju sum() koja zbraja komponente liste.

sum (srange(20))

1. zadatak za zadaću

Što treba promijeniti u kôdu programske funkcije u 1. zadatku da funkcija vrati aritmetičku sredinu komponenata liste. Podsjetnik: broj komponenata liste daje funkcija len(). Primijenite novu funkciju na listu srange(20); trebali biste dobiti rezultat $\dfrac{19}{2}$.

2. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju zbroj_rec() koja će zbrojiti recipročne vrijednosti komponenata liste (pretpostavit ćemo da lista nema komponenata koje su jednake nuli). Zbrojite recipročne vrijednosti komponenata liste $[1, 2, 3, 4, 5]$; rezultat je $\dfrac{137}{60}$.

3. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju broj() koja će prebrojiti koliko lista ima komponenata. Primijenite funkciju na listu $[-1, 0, 1]$. U rješenju prvoga zadatka za zadaću SageMath-ovu funkciju len() zamijenite vašom funkcijom broj().

Uputa: „Neutralni” element za prebrojavanje je $0$.

4. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju umnozak() koja će izračunati umnožak komponenata liste. Testirajte funkciju na listi $l= [1, 2, 3, 4, 5]$ (trebali biste dobiti rezultat $120$).

Uputa: Neutralni element za množenje je $1$.

5. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju umnozak_kosinusa() koja će izračunati umnožak kosinusa komponenata liste. Primijenite funkciju na argument $[-1, 0, 1]$ (trebali biste dobiti rezultat $\cos^2 1$).

2. zadatak

Ako su zadane dvije lista brojeva iste duljine $l_1=[x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n]$ i $l_2 = [y_0, y1, y2, \ldots, y_n]$, njihov je skalarni umnožak definiran izrazom

$l_1\cdot l_2 = x_0\, y_0 + x_1\, y_1 + x_2\, y_2 + \cdots + x_n\, y_n$.

Napišite programsku funkciju skalarni() koja će računati skalarni umnožak dviju lista brojeva iste duljine. Funkciju primijenite na liste $l_1 = [1, -1, 2, -2]$ i $l_2 = [3, 1, 0, -1]$; rezultat je $4$.

def skalarni (l1, l2) :
    rez = 0
    for i in srange (len (l1)) :
        rez += l1[i]*l2[i]
    return rez

skalarni ([1, -1, 2, -2], [3, 1, 0, -1])

Međuigra

Nova se komponenta na kraj liste dodaje funkcijom .append():

l = []
for i in [1, 2, 3, 4, 5] :
    l.append (i^2)
    print i, l

1 [1]
2 [1, 4]
3 [1, 4, 9]
4 [1, 4, 9, 16]
5 [1, 4, 9, 16, 25]

1 [1]
2 [1, 4]
3 [1, 4, 9]
4 [1, 4, 9, 16]
5 [1, 4, 9, 16, 25]

3. zadatak

Na 7. predavanju (MPZI_predavanje_07) definiran je Taylorov polinom funkcije. Za prikaz kvalitete aproksimacije funkcije $f$ pomoću Taylorovih polinoma u točki $x_0$ od stupnja $0$ do stupnja $n$ upotrijebljena je animacija (koju tada nismo objašnjavali).

Podsjećamo da se Taylorov polinom stupnja $k$ funkcije $f(x)$ u točki $x_0$ u SageMath-u dobiva pozivom funkcije

taylor (f, x, x0, k)

Napišite programsku funkciju taylor_lista() kojom ćete formirati listu slika koje se mogu animirati naredbom animate(). Svaka komponenta liste treba sadržavati grafički prikaz funkcije, prikaz točke u kojoj se računa Taylorov polinom, te prikaz Taylorovih polinoma od stupnja $0$ do stupnja $n$ za zadane $x_{min}$, $x_{max}$, $y_{min}$, $y_{max}$.

Napisanom programskom funkcijom odredite listu slika aproksimacije funkcije $f(x) = x^2\,e^{-x}$ u okolišu točke $x_0 = 2$ pomoću Taylorovih polinoma do desetoga stupnja. (Koliko će slika lista sadržavati?) Neka su $x_{min}=-0,\!6$, $x_{max}=5$, $y_{min}=-0,\!25$, $y_{max}=0,\!70$ i neka su Taylorovi polinomi nacrtani crvenom bojom. Na kraju prikažite animaciju tih slika s razmakom od pola sekunde između dvije slike, pri čemu će se izvesti deset iteracija prikaza slika.

Napomena: ova je programska funkcija nešto jednostavnija nego funkcija u 5. predavanju, jer se na slikama ne ispisuje stupanj polinoma. Ako Vas zanima kako se to radi, pogledajte odgovarajući kôd u spomenutom predavanju.

def taylor_lista (f, x0, n, xmin, xmax, ymin, ymax) :
    plot_fija = plot (f, xmin, xmax, ymin = ymin, ymax = ymax) 
    plot_tocka = point ((x0, f(x0)), pointsize = 15, color = 'red')
    lista_taylor = []
    for k in srange (n + 1) :
        pol_taylor (x) = taylor (f, x, x0, k)
        plot_taylor = plot (pol_taylor, xmin, xmax, ymin = ymin, ymax = ymax, color = 'red')
        lista_taylor.append (plot_fija + plot_tocka + plot_taylor)
    return lista_taylor

f(x) = x^2 * exp(-x)

taylorl = taylor_lista (f, 2, 10, -0.6, 5, -0.25, 0.7)

len (taylorl)

animate (taylorl) . show (delay = 50, iterations = 10)

6. zadatak za zadaću

Funkcijom taylor_lista(), definiranom u 3. zadatku, generirajte listu slika aproksimacija funkcije $f(x) = \dfrac{1}{x^2}\sin\dfrac{1}{x}$ Taylorovim polinomima do 20.-oga stupnja u okolini točke $x_0=0,\!21$ za $x_{min}=0,\!1$, $x_{max}=0,\!6$, $y_{min}=-60$ i $y_{max}=80$.

Animirajte dobivene slike funkcijom animate() i prikažite animaciju funkcijom .show() uz opcije delay = 75, iterations = 10.

7. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju monomi() koja će generirati listu slika monoma $x^i$ za $i = 0\; .. n$ na segmentu $[0, 1]$. Broj $n$ je parametar funkcije. Ordinate najniže i najviše točke crteža neka budu $0$ i $1$. Listu koju ćete dobiti animirajte.

8. zadatak za zadaću

Napišite programsku funkciju monomi2() koja će na istoj slici prikazati niz monoma $x^i$ za $i = 0\; .. n$ na segmentu $[-1, 1]$. Broj $n$ je parametar funkcije. Ordinate najniže i najviše točke crteža neka budu $-1$ i $1$.

Rješenje 1. zadatka za zadaću

Što treba promijeniti u kôdu programske funkcije u 1. zadatku da funkcija vrati aritmetičku sredinu komponenata liste. Uputa: broj komponenata liste daje funkcija len(). Primijenite novu funkciju na listu srange(20); trebali biste dobiti rezultat $\dfrac{19}{2}$.

def arit_sredina (lista) :
    rez = 0
    for el in lista :
        rez += el
    return rez / len (lista)

arit_sredina (srange(20))

19/2

19/2

Napomena: Složenije programske funkcije „sastavljaju” se od jednostavnijih funkcija, pa umjesto prepisivanjem kôda uz varijacije (što može imati pedagoškoga, ali ne i praktičnog smisla) funkciju za izračunavanje aritmetičke sredine možemo napisati pomoću funkcija zbroj() i len():

def arit_sredina2 (lista) :
    return zbroj (lista) / len (lista)

arit_sredina2 (srange(20))

19/2

19/2

Rješenje 2. zadatka za zadaću

def zbroj_rec (lista) :
    rez = 0
    for el in lista :
        rez += 1/el
    return rez

zbroj_rec ([1, 2, 3, 4, 5])

137/60

137/60

Rješenje 3. zadatka za zadaću

Uputa: „Neutralni” element za prebrojavanje je $0$.

def broj (lista) :
    rez = 0
    for el in lista :
        rez += 1
    return rez

broj ([-1, 0, 1])

Izmjena funkcije arit_sredina():

def arit_sredina (lista) :
    rez = 0
    for el in lista :
        rez += el
    return rez / broj(lista)

arit_sredina (srange(20))

19/2

19/2

U funkciji arit_sredina() može se upotrijebiti i ranije definirana funkcija zbroj():

def arit_sredina (lista) :
    return zbroj (lista) / broj (lista)

arit_sredina (srange(20))

19/2

19/2

Rješenje 4. zadatka za zadaću

Napišite programsku funkciju umnozak() koja će izračunati umnožak komponenata liste. Testirajte funkciju na listi $l= [1, 2, 3, 4, 5]$ (trebali biste dobiti rezultat $120$).

Uputa: Neutralni element za množenje je $1$.

def umnozak (lista) :
    rez = 1
    for i in srange (len (lista)) :
        rez *= lista[i]
    return rez

umnozak ([1, 2, 3, 4, 5])

ili:

def umnozak (lista) :
    rez = 1
    for el in lista :
        rez *= el
    return rez

umnozak ([1, 2, 3, 4, 5])

Rješenje 5. zadatka za zadaću

Napišite programsku funkciju umnozak_kosinusa() koja će izračunati umnožak kosinusa komponenata liste. Primijenite funkciju na argument $[-1, 0, 1]$ (trebali biste dobiti rezultat $\cos^2 1$).

def umnozak_kosinusa (lista) :
    rez = 1
    for el in lista :
        rez *= cos (el)
    return rez

umnozak_kosinusa ([-1, 0, 1])

cos(1)^2

cos(1)^2

Rješenje 6. zadatka za zadaću

Animirajte dobivene slike funkcijom animate() i prikažite animaciju funkcijom .show() uz opcije delay = 75, iterations = 10.

f(x) = sin(1/x)/x^2
taylorl = taylor_lista (f, 0.21, 20, 0.1, 0.6, -60, 80)

animate (taylorl) . show (delay = 75, iterations = 10)

Rješenje 7. zadatka za zadaću

def monomi (n) :
    plots = []
    for i in srange (n+1) :
        plots.append (plot (x^i, 0, 1, ymin = 0, ymax = 1))
    return plots

mnm = monomi (13)
animate (mnm) . show (delay = 33)

Rješenje 8. zadatka za zadaću

def monomi2 (n) :
    pl = plot (x^0, -1, 1)
    for i in srange (1, n+1) :
        pl += plot (x^i, -1, 1, ymin = -1, ymax = 1)
    return pl

monomi2 (13)

Varijacija na temu: Crtanje monoma različitim bojama, pri čemu je lista boja parametar funkcije (ako je najviši stupanj monoma (povećan za jedan) veći od broja boja, ponovo se upotrebljavaju iste boje):

def monomi3 (n, colors) :
    pl = plot (x^0, -1, 1)
    for i in srange (1, n+1) :
        pl += plot (x^i, -1, 1, ymin = -1, ymax = 1, color = colors[i%len (colors)])
    return pl

colors = ['yellow', 'orange', 'red', 'magenta', 'violet', 'blue', 'cyan', 'green']

monomi3 (13, colors)

MPZI_vj11_s_izradom

2477 days ago by fresl