MPZI_predavanje_12 -- Sage

Petlje (2) i grananja

Ugniježđene ili višestruke petlje

Popunjavanje matrice vrijednostima funkcije dviju varijabli

Napisat ćemo programsku funkciju koja će konstruirati matricu koja ima $m$ redaka i $n$ stupaca te je popuniti vrijednostima funkcije $f$ varijabli $x$ i $y$ na pravokutnomu (ili kvadratnom) području $[x_{\min}, x_{\max}]\times [y_{\min}, y_{\max}]$ .

Područje ćemo prekriti mrežom vertikalnih i horizontalnih pravaca. Vertikalni pravci (pravci usporedni s osi $y$ ) međusobno su udaljeni za $h_x$ , a horizontalni pravci (usporedni s osi $x$ ) za $h_y$ , pri čemu su

$h_x \,=\, \dfrac{x_{\max} - x_{\min}}{n - 1}$ i $h_y \,=\, \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{m - 1}$ .

Broj je horizontalnih pravaca $m$ , a broj vertikalnih $n$ , pa je broj sjecišta pravaca mreže jednak broju komponenata matrice. Vrijednosti funkcije $f$ u sjecištima jednoga horizontalnog pravca sa svim vertikalnim pravcima bit će komponente jednoga retka matrice.

Matricu ćemo popunjavati po recima, pa će „vanjska” petlja ići „po recima”, a „unutarnja” po komponentama pojedinih redaka, odnosno po sjecištima pojedinih redaka sa stupcima (tako da se obično kaže da unutarnja petlja ide „po stupcima”):

U svakom je retku koordinata $y$ konstantna, dok se koordinata $x$ povećava za $h_x$ ; na početku svakoga retka jednaka je $x_{\min}$ . U prvom/nultom retku koordinata $y$ jednaka je $y_{\min}$ , a pri prijelazu u svaki sljedeći redak povećava se za $h_y$ .

def fill_matrix_rw (NumberSet, m, n, f, xmin, xmax, ymin, ymax) : 
    A = matrix (NumberSet, m, n)
    hx = (xmax - xmin) / (n - 1)
    hy = (ymax - ymin) / (m - 1)
    yy = ymin
    for i in srange (m) : 
        xx = xmin
        for j in srange (n) : 
            A[i,j] = f (xx, yy) 
            xx += hx
        yy += hy
    return A

hypar (x, y) = x * y

h = fill_matrix_rw (QQ, 59, 59, hypar, -1/4, 7/4, -1/2, 3/2)
matrix_plot (h, cmap = 'ocean', colorbar = True, figsize = 6)

list_plot3d (h, color = 'crimson', frame = False, aspect_ratio = [1,1,25]) . rotateZ (pi/6)

Click on 3-D image to make it live. Right-click on live image for a control menu.

Matricu možemo popunjaviti i po stupcima:

Vanjska je petlja pritom po „stupcima”, a unutarnja „po recima”. Tada će pri popunjavanju vrijednostima funkcije $f$ u svakom stupcu koordinata $x$ biti konstantna, dok će se koordinata $y$ povećavati za $h_y$ . U prvom/nultom stupcu koordinata $x$ bit će jednaka $x_{\min}$ , a pri prijelazu u svaki sljedeći redak povećavat će se za $h_x$ . Na početku svakoga stupca koordinata $y$ bit će jednaka $y_{\min}$ .

def fill_matrix_cw (NumberSet, m, n, f, xmin, xmax, ymin, ymax) : 
    A = matrix (NumberSet, m, n)
    hx = (xmax - xmin) / (n - 1)
    hy = (ymax - ymin) / (m - 1)
    xx = xmin
    for j in srange (n) : 
        yy = ymin
        for i in srange (m) : 
            A[i,j] = f (xx, yy) 
            yy += hy
        xx += hx
    return A

hypar2 (x, y) = x^2 - y^2

h2 = fill_matrix_cw (QQ, 59, 59, hypar2, -1/3, 5/3, -1/2, 3/2)
matrix_plot (h2, cmap = 'ocean', colorbar = True, figsize = 6)

list_plot3d (h2, color = 'teal', aspect_ratio = [1,1,17], frame = False) . rotateZ (-pi/24)

Relacijske i logičke operacije

Relacijski se izrazi primjenjuju za usporedbe dviju vrijednosti ili za ispitivanje pripadnosti „skupu”. Svi su relacijski operatori, naravno, binarni.

Operatori usporedbe su == (jednako), != (nije jednako), < (manje), > (veće), <= (manje ili jednako) i >= (veće ili jednako). Naglašavamo da je operator ispitivanja jednakosti ==, a ne =. Operandi izraza usporedbe su aritmetički izrazi.

Operatori pripadanja su in (u) i not in (nije u). Operand s lijeve strane operatora pripadanja je aritmetički izraz, dok je operand zdesna „skup”.

Vrijednosti su relacijskih izraza logičke vrijednosti True i False.

Relacijski operatori imaju niži prioritet od aritmetičkih.

2 < 3

True

True

2 >= 2

True

True

2 in ZZ

True

True

1/2 in QQ

True

True

sqrt (2) in QQ

False

False

5 not in [1, 3, 5, 7]

False

False

2 + 3 == 3 + 2

True

True

Logički izrazi nastaju primjenom unarnoga logičkog operatora not (negacija) i binarnih operatora and (i) i or ((uključivi) ili) na relacijske ili na (jednostavnije) logičke izraze. Vrijednosti su logičkih izraza logičke, True i False.

Izraz not ex je istinit ako i samo ako podizraz ex nije istinit.

Izraz ex1 and ex2 je istinit ako i samo ako su istinita oba podizraza ex1 i ex2.

Izraz ex1 or ex2 je istinit ako i samo ako je istinit barem jedan od podizraza ex1 i ex2.

Logički operatori imaju niži prioritet od relacijskih. Između njih pak not ima najviši prioritet, a or najniži.

not 5 in [1, 3, 5, 7]

False

False

2 < 5 and 3 < 6

True

True

2 < 5 or 6 < 3

True

True

not 2 < 5 or not 6 < 3 and 5 < 2

False

False

(not 2 < 5) or ((not 6 < 3) and 5 < 2)

False

False

Pseudologički izrazi nastaju primjenom relacijskih operatora na relacijske izraze. Drugim riječima, relacijski operatori preuzimaju ulogu logičkih operatora: == (ako i samo ako) i != (isključivi ili, ili–ili, kao u aut Caesar aut nihil). Pseudologički izrazi poprimaju, naravno, logičke vrijednosti.

Izraz ex1 == ex2 je istinit ako i samo ako oba podizraza imaju istu istinosnu vrijednost.

Izraz ex1 != ex2 je istinit ako i samo ako je istinit jedan i samo jedan od podizraza ex1 i ex2.

(2 < 5) == (5 > 2)

True

True

(2 < 5) != (5 > 2)

False

False

(2 < 5) != (5 < 2)

True

True

Vrijednosti logičkih i pseudologičkih operacija često se prikazuju tablicama istinitosti:

izraz not ex je istinit ako i samo ako podizraz ex nije istinit:

ex	not ex
T	F
F	T

izraz ex1 and ex2 je istinit ako i samo ako su istinita oba podizraza ex1 i ex2:

ex1	ex2	**ex1 and ex2**
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

izraz ex1 or ex2 je istinit ako i samo ako je istinit barem jedan od podizraza ex1 i ex2:

ex1	ex2	**ex1 or ex2**
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

izraz ex1 == ex2 je istinit ako i samo ako oba podizraza imaju istu istinosnu vrijednost:

ex1	ex2	**ex1 == ex2**
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

izraz ex1 != ex2 je istinit ako i samo ako je istinit jedan i samo jedan od podizraza ex1 i ex2:

ex1	ex2	**ex1 != ex2**
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

True and False

False

False

True or False

True

True

True == False

False

False

True != False

True

True

Grananja if

Grananja su upravljačke strukture koja omogućavaju odabir naredbe ili niza naredaba koji će biti—ili neće biti—izvedeni. Mogu se razlikovati:

uvjetno izvođenje,
grananje (u užem smislu) i
višestruko grananje.

Grananja se u programima najčešće ostvaruju naredbom if.

Uvjetno izvođenje

U uvjetnomu će izvođenju naredba ili niz naredaba biti izvedeni ako i samo ako je ispunjen zadani uvjet; u protivnom će biti „preskočeni”.

Opći je oblik naredbe if za uvjetno izvođenje:

if uvjet :

niz naredaba

def conditional_if (x) :
    print 'ispred if-a'
    if x == 0 :
        print 'u if-u'
    print 'iza if-a'

conditional_if (0)

ispred if-a
u if-u
iza if-a

ispred if-a
u if-u
iza if-a

conditional_if (13)

ispred if-a
iza if-a

ispred if-a
iza if-a

Od nule različite komponente matrice

Kao primjer, napisat ćemo programsku funkciju koja će za zadanu matricu $\mathbf{A}$ kao rezultat dati matricu $\mathbf{B}$ istih dimenzija, pri čemu je $b_{i,j} = 1$ ako je $a_{i,j} \ne 0$ i $b_{i,j} = 0$ ako je $a_{i,j} = 0$ .

$\mathbf{A}$ prolazit ćemo po recima. Ako je $a_{i,j} \ne 0$ , pripadnoj komponenti matrice $\mathbf{B}$ pridružit ćemo vrijednost $1$ ; zapisano pomalo nalik na naredbu if:

ako je $a_{i,j} \ne 0$ , onda :

$b_{i,j} \leftarrow 1$

Ako je pak $a_{i,j} = 0$ , $b_{i,j}$ može zadržati vrijednost $0$ , što znači da ne treba ništa učiniti.

def matrix_nonzero (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (ZZ, m, n)
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) : 
            if A[i,j] != 0 :
                B[i,j] = 1
    return B

h3 = fill_matrix_cw (QQ, 59, 59, hypar2, -1, 1, -1, 1)

a = matrix_nonzero (h3)
matrix_plot (a, cmap = 'summer_r', colorbar = True, figsize = 6)

var ('t')
p1 = list_plot3d (h3, color = 'teal')
p2 = parametric_plot3d ((t, t, 0), (t, 0, 58), color = 'yellow', thickness = 3)
p3 = parametric_plot3d ((-t + 58, t, 0), (t, 0, 58), color = 'yellow', thickness = 3)
(p1 + p2 + p3).rotateZ (-pi/12).show(aspect_ratio = [1,1,17], frame = False)

Nekoliko smo već puta naglasili da, zbog pogrešaka zaokruživanja u aritmetičkim operacijama, ispitivanje jednakosti „realnih” brojeva operatorom == nije uvijek smislen način njihova uspoređivanja:

scherk (x, y) = log (cos(y)/cos(x))

sch = fill_matrix_rw (RR, 59, 59, scherk, -1., 1., -1., 1.)
matrix_plot (sch, cmap = 'ocean', colorbar = True, figsize = 6)

matrix_plot (matrix_nonzero (sch), cmap = 'summer_r', colorbar = True, figsize = 6)

p4 = list_plot3d (sch, color = 'darkviolet')
(p4 + p2 + p3).rotateZ (-pi/11).show(aspect_ratio = [1,1,23], frame = False)

Umjesto ispitivanja je li broj jednak nuli, treba ispitati je li po apsolutnoj vrijednosti dovoljno malen da se može zanemariti, pri čemu se „dovoljno malen” definira s pomoću odabrane točnosti $\tau$ .

I obratno, „realni” se broj smatra različitim od nule ako je po apsolutnoj vrijednosti veći od odabrane vrijednosti $\tau$ :

def matrixRR_nonzero (A, tol = 1e-13) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (ZZ, m, n)
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) : 
            if abs (A[i,j]) > tol :
                B[i,j] = 1
    return B

matrix_plot (matrixRR_nonzero (sch), cmap = 'summer_r', colorbar = True, figsize = 6)

Grananje u užem smislu

Two roads diverged in a yellow wood,
And sorry I could not travel both
And be one traveler, long I stood
And looked down one as far as I could
To where it bent in the undergrowth;

Then took the other...

R. Frost

Grananje u užem smislu odabir je jedne od dviju mogućih „grana” daljnjega izvođenja programa: bit će izvedena jedna od dvije naredbe ili jedan od dva niza naredaba, ovisno o tome je li zadani uvjet ispunjen ili ne.

Oblik je naredbe if za grananje u užem smislu:

if uvjet :

niz naredaba ‚onda’

else :

niz naredaba ‚inače’

Ako je uvjet ispunjen, onda će se izvesti niz naredaba nazvan „onda”, a inače—dakle, ako uvjet nije ispunjen—bit će izveden niz naredaba nazvan „inače”.

def branching_if (x) : 
    print 'ispred if-a'
    if x == 0 :
        print 'u if-u, uvjet zadovoljen'
    else :
        print 'u if-u, uvjet nije zadovoljen'
    print 'iza if-a'

branching_if (0)

ispred if-a
u if-u, uvjet zadovoljen
iza if-a

ispred if-a
u if-u, uvjet zadovoljen
iza if-a

branching_if (13)

ispred if-a
u if-u, uvjet nije zadovoljen
iza if-a

ispred if-a
u if-u, uvjet nije zadovoljen
iza if-a

Predznaci komponenata matrice (1)

Rezultat je funkcije koja slijedi matrica $\mathbf{B}$ istih dimenzija kao zadana matrica $\mathbf{A}$ , a komponente su joj:

$b_{i,j} = 1$ ako je $a_{i,j} \ge 0$ i
$b_{i,j} = -1$ ako je $a_{i,j} < 0$ .

Dakle:

ako je $a_{i,j} \ge 0$ , onda :

$b_{i,j} \leftarrow 1$

a inače :

$b_{i,j} \leftarrow -1$

def matrix_sign (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (ZZ, m, n)
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) : 
            if A[i,j] >= 0 :
                B[i,j] = 1
            else :
                B[i,j] = -1
    return B

b = matrix_sign (h3)
matrix_plot (b, cmap = 'summer_r', colorbar = True, figsize = 6)

Višestruko grananje

Pri višestrukom se grananju izvodi jedna od nekoliko mogućih naredaba ili jedan od nekoliko mogućih nizova naredaba.

Primjenom naredbe if višestruko se grananje ostvaruje kao niz uzastopnih grananja:

if prvi uvjet :

prvi niz naredaba

elif drugi uvjet :

drugi niz naredaba

...

else :

n-ti niz naredaba

Pritom grana else nije obvezna.

def multibranch_if (x) :
    print 'ispred if-a'
    if x == -1 :
        print 'u if-u, -1'
    elif x == 0 :
        print 'u if-u, 0' 
    elif x == 1 :
        print 'u if-u, 1'
    elif x == 2 :
        print 'u if-u, 2'
    else :
        print 'u if-u, sve ostalo'  
    print 'iza if-a'

multibranch_if (-1)

ispred if-a
u if-u, -1
iza if-a

ispred if-a
u if-u, -1
iza if-a

multibranch_if (2)

ispred if-a
u if-u, 2
iza if-a

ispred if-a
u if-u, 2
iza if-a

multibranch_if (-13)

ispred if-a
u if-u, sve ostalo
iza if-a

ispred if-a
u if-u, sve ostalo
iza if-a

def multibranch_if_wo_else (x) :
    print 'ispred if-a'
    if x == -1 :
        print 'u if-u, -1'
    elif x == 0 :
        print 'u if-u, 0' 
    elif x == 1 :
        print 'u if-u, 1'
    elif x == 2 :
        print 'u if-u, 2'
    print 'iza if-a'

multibranch_if_wo_else (-1)

ispred if-a
u if-u, -1
iza if-a

ispred if-a
u if-u, -1
iza if-a

multibranch_if_wo_else (2)

ispred if-a
u if-u, 2
iza if-a

ispred if-a
u if-u, 2
iza if-a

multibranch_if_wo_else (13)

ispred if-a
iza if-a

ispred if-a
iza if-a

Predznaci komponenata matrice (2)

Budući da nula nije ni pozitivna ni negativna, komponente matrice $\mathbf{B}$ mogu biti i

$b_{i,j} = 1$ ako je $a_{i,j} > 0$ ,
$b_{i,j} = 0$ ako je $a_{i,j} = 0$ i
$b_{i,j} = -1$ ako je $a_{i,j} < 0$ .

Ili, bliže zapisu naredbe if:

ako je $a_{i,j} > 0$ , onda :

$b_{i,j} \leftarrow 1$

inače, ako je $a_{i,j} = 0$ , onda :

$b_{i,j} \leftarrow 0$

a inače :

$b_{i,j} \leftarrow -1$

Ili, promjenom redoslijeda uvjetâ:

ako je $a_{i,j} > 0$ , onda :

$b_{i,j} \leftarrow 1$

inače, ako je $a_{i,j} < 0$ , onda :

$b_{i,j} \leftarrow -1$

a inače :

$b_{i,j} \leftarrow 0$

def matrix_sign0 (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (ZZ, m, n)
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) : 
            if A[i,j] > 0 :
                B[i,j] = 1
            elif A[i,j] < 0 :
                B[i,j] = -1
            else : 
                B[i,j] = 0
    return B

c = matrix_sign0 (h3)
matrix_plot (c, cmap = 'summer_r', colorbar = True, figsize = 6)

Kako je matrica $\mathbf{B}$ na početku popunjena nulama, pridruživanje $b_{i,j} = 0$ ako je $a_{i,j} = 0$ nije potrebno, ali grananje ipak nije grananje u užem smislu (if ... else ...). Potrebno je višestruko grananje, ali s jednom „praznom” granom (odnosno, bez grane else):

def matrix_sign0 (A) :
    m = A.nrows()
    n = A.ncols()
    B = zero_matrix (ZZ, m, n)
    for i in srange (m) : 
        for j in srange (n) : 
            if A[i,j] > 0 :
                B[i,j] = 1
            elif A[i,j] < 0 :
                B[i,j] = -1
    return B

matrix_plot (matrix_sign0 (h3), cmap = 'summer_r', colorbar = True, figsize = 6)

MPZI_predavanje_12

1313 days ago by fresl