Vektori i matrice
Vektori
1. Zadatak
Definirajte vektore
$\mathbf{a} = (2, 3, 1)$ i
$\mathbf{b} = (-1, 5, 4)$,
a zatim izračunajte:
|
|
|
|
|
|
Skalarni umnožak:
|
|
|
|
Vektorski umnožak:
|
|
Provjera da je vektorski umnožak okomit na faktore produkta (ako su vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ međusobno okomiti, onda je $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$):
|
|
2. zadatak
Za vektore $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$, definirane u 1. zadatku, izračunajte:
Na kraju uklonite varijable a i b.
|
|
|
|
|
|
|
|
3. zadatak
Na materijalnu točku $\mathbf{A}$ djeluju dvije sile prikazane vektorima $\vec{a}_1=(2, -1, 2)$ i $\vec{a}_2=(4, 1, 1)$, a na točku $\mathbf{B}$ sile prikazane vektorima $\vec{b}_1=(-1, 3, -1)$ i $\vec{b}_2=(-3, -2, 5)$. Na koju od točaka djeluje rezultanta silâ većega intenziteta?
Uputa: rezultanta silâ dobiva se zbrajanjem sila, a intenzitet je sile jednak duljini vektora kojim je prikazana.
Prvo ćemo definirati sile i prikazati ih pomoću naredbe print:
|
|
Zatim ćemo izračunati rezultante $\vec{r}_A$ i $\vec{r}_B$:
|
|
Sada možemo izračunati njihove intenzitete:
|
|
|
|
Zaključujemo da na točku $\mathbf{A}$ djeluje sila većega intenziteta. Možemo to i provjeriti:
|
|
|
|
4. zadatak
Definirajte dva vektora. Komponente prvoga neka su svi parni brojevi između 1 i 30 (uključivo), a komponente drugoga svi neparni brojevi u istom intervalu. Izračunajte kut između tih vektora u radijanima i stupnjevima.
|
|
Provjera jednakosti duljina:
|
|
Izračunavanje kuta:
|
|
|
|
|
|
1. zadaci za vježbu
Definirajte vektore $\mathbf{a}=(1;\; 3;\; 2,\!1)$ i $\mathbf{b}=(-1;\; 5,\!3;\; 0)$ pa zatim izračunajte:
|
|
Matrični račun
5. zadatak
Zadajte matrice
$\mathbf{a}$ kojoj su reci $(0, 2, 1)$, $( 4, 1, 0)$ i $(-2, 5, 1)$ i
$\mathbf{b}$ kojoj su reci $(0, 2, 1)$, $(1; 1,\!5; 2)$ i $(0, 4, 2)$
pa izračunajte:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. zadatak
Neka su
Može se pokazati da je tada umnožak $\mathrm{rot}_\alpha \, \vec{r}_A$ radijus–vektor točke u koju prelazi točka $A$ pri rotaciji ravnine za kut $\alpha$, pri čemu je ishodište središte rotacije, a rotacija je u smislu suprotnom od smisla vrtnje kazaljke na satu.
Treba naći točku u koju prelazi točka $A=(2, 3)$ pri rotaciji ravnine za kut $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{3}$. Provjerite da je radijus–vektor novodobivene točke jednake duljine kao i radijus–vektor polazne točke.
Prvi način — sa simboličkim i cjelobrojnim veličinama:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Proračun je proveden s točnim cjelobrojnim i simboličkim veličinama, a „realne” su aproksimacije izračunane tek na kraju, pa su međusobno jednake.
Drugi način — s „realnim” brojevima:
|
|
|
|
|
|
Kako se cijeli proračun provodio s približnim „realnim” brojevima, stvarna se jednakost izgubila: iako se brojevi u ispisanom dijelu znamenaka ne razlikuju, prikažemo li „interni” zapis brojeva, vidjet ćemo da se mantise (neznatno) razlikuju:
|
|
7. zadatak
Definirajte matricu
$\mathbf{D} = \left[ \begin{array}{rrr} 5,\!0 & -2,\!0 & -1,\!0 \\ -2,\!0 & 5,\!0 & -2,\!0 \\ -1,\!0 & -2,\!0 & 5,\!0 \end{array} \right]$.
Provjerite je li matrica $\mathbf{D}$ regularna i ako jest, izračunajte njezin inverz. Provjerite svojstvo $\mathbf{D}\,\mathbf{D}^{-1} = \mathbf{D}^{-1}\mathbf{D} = \mathbf{I}$.
Definicija matrice:
|
|
Provjera regularnosti:
|
|
ili (matrica je regularna ako je $\mathrm{det}(\mathbf{D}) \neq 0$):
|
|
Izračunavanje inverzne matrice:
|
|
„Provjera” svojstva inverzne matrice:
|
|
2. zadaci za vježbu
Definirajte matrice
$\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 3 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & 4 \\ -1 & 5 & 2 & 4 \end{array} \right] \qquad\text{i}\qquad \mathbf{B} = \left[ \begin{array}{llll} 0 & 2 & 1 & 1,\!5 \\ 2 & 0,\!5 & 1 & 1,\!5 \\ 1 & 1,\!5 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 4 & 2 \end{array} \right]$.
Izračunajte
Sve matrice prikažite pomoću funkcije show().
|
|