Processing math: 100%

Mehanika_1-11_Ravninske_rešetke_(v0.3)

2483 days ago by fresl

 

Vektori i matrice


Vektori


1. Zadatak

Definirajte vektore

   a=(2,3,1)  i

   b=(1,5,4),

a zatim izračunajte: 

  1. 2a+b,
  2. a2b,
  3. skalarni umnožak ab vektora a i b,
  4. vektorski umnožak a×b vektora a i b i provjerite da je rezultat okomit na a i b.
       
       
       

Skalarni umnožak:

       
       

Vektorski umnožak:

       

Provjera da je vektorski umnožak okomit na faktore produkta (ako su vektori a i b međusobno okomiti, onda je ab=0):

       


2. zadatak

Za vektore a i b, definirane u 1. zadatku, izračunajte:

  1. duljinu vektora a,
  2. kut (u stupnjevima) između a i b.

Na kraju uklonite varijable a i b.

       
       
       
       


3. zadatak

Na materijalnu točku A djeluju dvije sile prikazane vektorima  a1=(2,1,2)  i  a2=(4,1,1),  a na točku B sile prikazane vektorima  b1=(1,3,1)  i  b2=(3,2,5). Na koju od točaka djeluje rezultanta silâ većega intenziteta?

Uputa: rezultanta silâ dobiva se zbrajanjem sila, a intenzitet je sile jednak duljini vektora kojim je prikazana.

Prvo ćemo definirati sile i prikazati ih pomoću naredbe print:

       

Zatim ćemo izračunati rezultante rA i rB:

       

Sada možemo izračunati njihove intenzitete:

       
       

Zaključujemo da na točku A djeluje sila većega intenziteta. Možemo to i provjeriti:

       
       


4. zadatak

Definirajte dva vektora. Komponente prvoga neka su svi parni brojevi između 1 i 30 (uključivo), a komponente drugoga svi neparni brojevi u istom intervalu. Izračunajte kut između tih vektora u radijanima i stupnjevima.

       

Provjera jednakosti duljina:

       

Izračunavanje kuta:

       
       
       


1. zadaci za vježbu

Definirajte vektore  a=(1;3;2,1)  i  b=(1;5,3;0)  pa zatim izračunajte:

  1. vektor c=3a4b,
  2. duljine vektora ab,
  3. skalarni i vektorski umnožak vektora ab,
  4. kut između vektora ac; rezultat neka bude u stupnjevima,
  5. ploštinu paralelograma određenoga vektorima ab;  uputa: ploština je paralelograma a×b.
       

 

Matrični račun


5. zadatak

Zadajte matrice

   a kojoj su reci (0,2,1), (4,1,0) i (2,5,1) i

   b kojoj su reci (0,2,1), (1;1,5;2) i (0,4,2)

pa izračunajte:

  1. 3a2b
  2. umnožak ab i
  3. inverznu matricu one matrice kojoj je determinanta različita od nule.
Na kraju uklonite varijable a i b.
       
       
       
       
       


6. zadatak

Neka su

  1. A točka u ravnini i rA njezin radijus–vektor,
  2. rotα matrica oblika [cosαsinαsinαcosα].

Može se pokazati da je tada umnožak rotαrA radijus–vektor točke u koju prelazi točka A pri rotaciji ravnine za kut α, pri čemu je ishodište središte rotacije, a rotacija je u smislu suprotnom od smisla vrtnje kazaljke na satu.

Treba naći točku u koju prelazi točka A=(2,3) pri rotaciji ravnine za kut α=π3.  Provjerite da je radijus–vektor novodobivene točke jednake duljine kao i radijus–vektor polazne točke.

 

Prvi način — sa simboličkim i cjelobrojnim veličinama:

       
       
       
       
       

Proračun je proveden s točnim cjelobrojnim i simboličkim veličinama, a „realne” su aproksimacije izračunane tek na kraju, pa su međusobno jednake.

 

Drugi način — s „realnim” brojevima:

       
       
       

Kako se cijeli proračun provodio s približnim „realnim” brojevima, stvarna se jednakost izgubila: iako se brojevi u ispisanom dijelu znamenaka ne razlikuju, prikažemo li „interni” zapis brojeva, vidjet ćemo da se mantise (neznatno) razlikuju:

       


7. zadatak

Definirajte matricu

    D=[5,02,01,02,05,02,01,02,05,0].

Provjerite je li matrica D regularna i ako jest, izračunajte njezin inverz. Provjerite svojstvo  DD1=D1D=I.

Definicija matrice:

       

Provjera regularnosti:

       

ili  (matrica je regularna ako je det(D)0):

       

Izračunavanje inverzne matrice:

       

„Provjera” svojstva inverzne matrice:

       


2. zadaci za vježbu

Definirajte matrice

    A=[2310410225141524]iB=[0211,520,511,511,5233042].

Izračunajte

  1. AB,
  2. determinantu matrice A,
  3. inverznu matricu matrice A i množenjem s A provjerite da je rezultat jedinična matrica,
  4. transponiranu matricu matrice B.

Sve matrice prikažite pomoću funkcije show().