Vektori i matrice
Vektori
1. Zadatak
Definirajte vektore
a=(2,3,1) i
b=(−1,5,4),
a zatim izračunajte:
|
|
|
Skalarni umnožak:
|
|
Vektorski umnožak:
|
Provjera da je vektorski umnožak okomit na faktore produkta (ako su vektori a i b međusobno okomiti, onda je a⋅b=0):
|
2. zadatak
Za vektore a i b, definirane u 1. zadatku, izračunajte:
Na kraju uklonite varijable a i b.
|
|
|
|
3. zadatak
Na materijalnu točku A djeluju dvije sile prikazane vektorima →a1=(2,−1,2) i →a2=(4,1,1), a na točku B sile prikazane vektorima →b1=(−1,3,−1) i →b2=(−3,−2,5). Na koju od točaka djeluje rezultanta silâ većega intenziteta?
Uputa: rezultanta silâ dobiva se zbrajanjem sila, a intenzitet je sile jednak duljini vektora kojim je prikazana.
Prvo ćemo definirati sile i prikazati ih pomoću naredbe print:
|
Zatim ćemo izračunati rezultante →rA i →rB:
|
Sada možemo izračunati njihove intenzitete:
|
|
Zaključujemo da na točku A djeluje sila većega intenziteta. Možemo to i provjeriti:
|
|
4. zadatak
Definirajte dva vektora. Komponente prvoga neka su svi parni brojevi između 1 i 30 (uključivo), a komponente drugoga svi neparni brojevi u istom intervalu. Izračunajte kut između tih vektora u radijanima i stupnjevima.
|
Provjera jednakosti duljina:
|
Izračunavanje kuta:
|
|
|
1. zadaci za vježbu
Definirajte vektore a=(1;3;2,1) i b=(−1;5,3;0) pa zatim izračunajte:
|
Matrični račun
5. zadatak
Zadajte matrice
a kojoj su reci (0,2,1), (4,1,0) i (−2,5,1) i
b kojoj su reci (0,2,1), (1;1,5;2) i (0,4,2)
pa izračunajte:
|
|
|
|
|
6. zadatak
Neka su
Može se pokazati da je tada umnožak rotα→rA radijus–vektor točke u koju prelazi točka A pri rotaciji ravnine za kut α, pri čemu je ishodište središte rotacije, a rotacija je u smislu suprotnom od smisla vrtnje kazaljke na satu.
Treba naći točku u koju prelazi točka A=(2,3) pri rotaciji ravnine za kut α=π3. Provjerite da je radijus–vektor novodobivene točke jednake duljine kao i radijus–vektor polazne točke.
Prvi način — sa simboličkim i cjelobrojnim veličinama:
|
|
|
|
|
Proračun je proveden s točnim cjelobrojnim i simboličkim veličinama, a „realne” su aproksimacije izračunane tek na kraju, pa su međusobno jednake.
Drugi način — s „realnim” brojevima:
|
|
|
Kako se cijeli proračun provodio s približnim „realnim” brojevima, stvarna se jednakost izgubila: iako se brojevi u ispisanom dijelu znamenaka ne razlikuju, prikažemo li „interni” zapis brojeva, vidjet ćemo da se mantise (neznatno) razlikuju:
|
7. zadatak
Definirajte matricu
D=[5,0−2,0−1,0−2,05,0−2,0−1,0−2,05,0].
Provjerite je li matrica D regularna i ako jest, izračunajte njezin inverz. Provjerite svojstvo DD−1=D−1D=I.
Definicija matrice:
|
Provjera regularnosti:
|
ili (matrica je regularna ako je det(D)≠0):
|
Izračunavanje inverzne matrice:
|
„Provjera” svojstva inverzne matrice:
|
2. zadaci za vježbu
Definirajte matrice
A=[23−104102−2514−1524]iB=[0211,520,511,511,5233042].
Izračunajte
Sve matrice prikažite pomoću funkcije show().
|